Conferma quello che dicevo io (lui fa l'esempio di con un'altra successione, ma la sostanza è la stessa).
@otta96:
Se non sono troppo insistente, potresti rispondere alle altre cose che ti ho chiesto?
Non sei troppo insistente tranquillo, ora rispondo, immagino tu ti riferisca ad
Bremen000 ha scritto:No, volevo sapere come avevi dimostrato tu che $ Q^{\infty} $ non è connesso per archi e se secondo te era un fatto banale da dimostrare!
sinceramente non mi ricordo benissimo come avevo fatto, vediamo se mi torna in mente mentre lo scrivo...
Notazione: $X=QQ^\infty$, $p=\infty$, $I=[0,1]$.
Osservazione preliminare: le componenti connesse dei punti di $X$ diversi da $p$ o sono i punti stessi o contengono $p$, perché se non contenessero $p$, si potrebbero vedere semplicemente in $QQ$.
Il nostro scopo è di calcolare la componente connessa per archi di $p$, supponiamo ci stia almeno un altro punto, $q$ (chiaramente $q\inQQ$) allora $EE\gamma:I->X|\gamma(0)=p,\gamma(1)=q$ continua, considero $Y=\gamma^(-1)(p)$. questo è chiuso perché $\gamma$ è continua e $p$ è chiuso, ($QQ$ è aperto), allora è compatto.
Ma in ogni componente connessa di $I\setminusY$ la funzione deve essere costante, perché l'immagine deve essere un connesso tutto contenuto in $QQ$ e non vuoto.
Ora si ha che se prendo il massimo di $Y$ (che esiste perchè $Y$ è compatto e non vuoto) e lo chiamo $x_0$, quindi posso conludere che la funzione $\beta:[x_0,1]->X|\beta(x_0)=p,\beta(x)=q,AAx_0<x<=1$ è continua (non è altro che una restrizione di $\gamma$), ma se faccio $\beta^(-1)(X\setminus{q})$ dovrebbe essere aperto perchè retroimmagine di un aperto (${q}$ è compatto), ma invece risulta essere ${x_0}$, che non è palesemente aperto, dunque siamo giunti ad un assurdo assumendo che ci fosse un punto nella componente connessa per archi di $p$ diverso da esso.