Integrali nulli per iterazione

Messaggioda AnalisiZero » 08/12/2017, 00:41

Salve,

Ultimamente capita spesso che cercando di risolvere integrali trovo che un integrale è uguale a qualcosa che si annulla sommato all'opposto dell'integrale di partenza. Quindi potrei dire che l'integrale di partenza è nullo, ma ciò è vero se e solo sé la funzione integranda è nulla. Come ci si deve comportare?
Di esempi non ne ho, ma basta prendere anche qualche integrale postato qui sul forum.

Grazie.
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda killing_buddha » 08/12/2017, 01:08

l'integrale di partenza è nullo, ma ciò è vero se e solo sé la funzione integranda è nulla.

$\cos x$ su un qualsiasi intervallo lungo un periodo.
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda AnalisiZero » 08/12/2017, 11:16

killing_buddha ha scritto:
l'integrale di partenza è nullo, ma ciò è vero se e solo sé la funzione integranda è nulla.

$\cos x$ su un qualsiasi intervallo lungo un periodo.

No, non ci arrivo :(
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda killing_buddha » 08/12/2017, 11:33

Quello che ho quotato è falsissimo, e ti ho fatto un esempio del motivo
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda pilloeffe » 08/12/2017, 12:50

Ciao AnalisiZero,
killing_buddha ha scritto:Quello che ho quotato è falsissimo, e ti ho fatto un esempio del motivo

Infatti killing_buddha ha ragione da vendere... Ti faccio un altro esempio:

\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^2}dx = 0}
\end{equation} \)

per $a > 0 $ e $n \in \NN $ dispari. L'integrale è nullo (senza bisogno di fare alcun calcolo!) in quanto si tratta dell'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico: eppure la funzione integranda si guarda bene dall'essere nulla... :wink:
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda AnalisiZero » 08/12/2017, 15:35

pilloeffe ha scritto:Ciao AnalisiZero,
killing_buddha ha scritto:Quello che ho quotato è falsissimo, e ti ho fatto un esempio del motivo

Infatti killing_buddha ha ragione da vendere... Ti faccio un altro esempio:

\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^2}dx = 0}
\end{equation} \)

per $a > 0 $ e $n \in \NN $ dispari. L'integrale è nullo (senza bisogno di fare alcun calcolo!) in quanto si tratta dell'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico: eppure la funzione integranda si guarda bene dall'essere nulla... :wink:

Quindi devo pensare all'integrale come somma algebrica delle aree tra la funzione integranda e l'asse $x$ nell'intervallo indicato, prendendole negative quando la funzione è sotto e positive altrimenti?
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda killing_buddha » 08/12/2017, 15:44

Il fatto che tu faccia questa domanda dimostra che stai studiando malissimo, che stai studiando da solo o che stai facendo entrambe le cose. Péntiti! :) e apri un libro di analisi, con calma, a pagina 1.
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Re: Integrali nulli per iterazione

Messaggioda AnalisiZero » 08/12/2017, 16:31

killing_buddha ha scritto: apri un libro di analisi, con calma, a pagina 1.

È proprio quello che sto facendo, altrimenti non sarei così indietro nello studio :(. Forse mi devo spiegare meglio.
L'integrale a lezione l'abbiamo definito con la somma Cauchy-Riemann, per cui quando la funzione è negativa dovrei avere un'area negativa, a meno di mettere il $-$ davanti. Graficamente una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine. Quindi viene intuitivo pensare che l'integrale da $-a$ ad $a$ sia nullo.
Gli integrali ancora non li ho studiati bene come voglio , ma la definzione "penso" di averla capita.
Se sto ancora sbagliando qualcosa forse è meglio tornare sugli integrali quando li avrò fatti come si deve...
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