Ok, ma.. non sono soddisfatto della tua risposta, anche se la trovo giusta e corretta.
L'assioma di univalenza di Voevodsky, nell'ambito appunto della fondazione univalente, esprime il concetto che
"l'identità è equivalente all'equivalenza"
Una volta che dimostro che è un isomorfismo il prodotto vettoriale non si 'comporta' comunque da commutatore (questo voglio), non capisco bene perchè mi chiedi di trovare un isomorfismo, aiutami a capire perchè mi sembra che tu mi stia cercando di mostrare il tipo di relazione algebrica tra le matrici e i vettori secondo un metodo che poi mi porterà a rappresentare un modello di isomorfismo che però non coincide con il mio obbiettivo: cambiare il modo di rappresentare questo modello, non il modello come definizione.
Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita ad una operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro, quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa.
Secondo me qualche idea per pensarlo commutativo potrebbe esserci
L'operazione viene detta nullaria o zeraria o zero-aria perchè individua o sceglie un particolare elemento del supporto detto costante. In un monoide M oltre ad una operazione binaria vi è una operazione nullaria che corrisponde all'elemento identità del monoide cosicchè r(M) = (2,0)
Una operazione n-aria su A è una funzione che accetta n elementi di A e restituisce un singolo elemento di A.
Così, una operazione 0-aria (o operazione nullaria) è semplicemente un elemento di A, o una costante, spesso indicata con una lettera come a
Un collegamento con i numeri naturali
(N, +) è un monoide commutativo con l'elemento neutro 0, il cosiddetto monoide libero con un generatore.
elemento neutro se non mi sbaglio è già però un' operazione unaria, il fatto che l'elemento neutro sia la base per definire il loop e il concetto di gruppo, io vorrei capire allora, dato il collegamento tra commutatore, elemento neutro e la commutatività del prodotto vettoriale.
Il
modulo nel prodotto vettoriale non cambia, quindi il problema non è se il prodotto vettoriale resta non-commutativo, evidentemente la costante (mi serve un operazione nullaria dunque) per renderlo commutativo non è attraverso il prodotto delle matrici e ne attraverso l'isomorfismo che tu mi stai chiedendo di dimostrare. Secondo me bisogna cambiare semplicemente il modo di rappresentare la stessa costante che poi porta a me dire che è possibile e a te a ripetere che non si può fare: eh no, un punto di incontro tra commutativa e non commutativa deve esistere, altrimenti non potremmo nemmeno definire
il concetto di costante o operazione nullaria.
Elemento identità: e * x = x = x * e.
Elemento inverso: x * (~x) = e = (~x) * x.
Perchè usano la costante (operazione nullaria
e) per definire l'identità e l'inverso ?
Per me la chiave per capire tutto è proprio in quelle 2 definizioni, in particolare
x * (~x) = e = (~x) * x
permette di mostrare come il problema non è una questione di 'segni', ma è solo un modo di rappresentare la stessa costante di sempre: il semplice elemento dell'insieme o l'operazione nullaria.
Bisogna cambiare la rappresentazione, questo non vuol dire cambiare le definizioni: io ti sto dicendo una cosa, ma tu capisci qualcos' altro, ecco il problema, cerco un punto di incontro tra le definizioni, non un punto di separazione, non è quello che mi interessa.