Polinomi, derivate e divisibilità

[anto_zoolander]

Ci ho messo passione, ci tenevo a giustificare tutto

[Erasmus_First]

Cerco di farla breve!
a) Per grado n inferiore a j la derivata j-esima di $k_n x^n$ è nulla e quindi sempre divisibile per 2016.
b) Per n ≥ j, potendo essere qualsiasi i coefficienti dei monomi addendi di un polinomio, deve essere divisibile per 2016 il coefficiente della derivata j-esima di ogni monomio addendo (che è del tipo $k_n x^n$); deve dunque essere divisibile per 2016 il prodotto
$n·(n-1)·(n–2)· ... · (n-j+1)$
il quale è sempre divisibile per $j!$ perché di m interi consecutivi ce n'è sempre uno (e uno solo) divisibile per m
c) Siccome $2016 =2^5·3^2·7$ e per $j<7$ $j!$ non contiene il fattore 7 presente in 2016, dovrà esserem j > 6.
Per j =7 abbiamo:
$7! = $5·(2^4·3^2·7)$ .
Ci siamo quasi, ma non del tutto perché manca ancora un fattore 2.
d) Per j = 8 ... ci siamo!
Infatti: $8! = 20·(2^5·3^2·7)$.
Dunque $j!$ è divisibileoper $2016 = 2^5·3^2·7$ per tutti gli interi j maggori di 7, dei quali il minimo è 8,
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[Delirium]

@Erasmus: molto bene!