Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 11/12/2017, 21:05

Ciao a tutti, se considero tutti gli omomorfismi tra spazi vettoriali della stessa dimensione, allora sono in realtà tutti degli isomirfismi?

Esempio
Sia f un omomorfismo
$f:R^2->R^2$

Allora tutte le applicaziobi di questo tipo sono isomorfismi?
Grazie.

Poi volevo chiedervi una cosa sulla base dell'immagine di un'applicazione lineare.

Ancora non uso le matrici per determinarla perchè all'inizio (all'univeristà) ce la stanno facendo calcolare senza usarle.

Sia $f:R^4->R^2$ un omomorfismo
$f(x,y,z,t) = (x+2y-t,2y-z+3t)$

per trovare la base dell'immagine (che ha dimensione 2) la prof ha detto di assegnare prima valore 1 alla x e a tutti gli altri 0 , poi valore 1 alla y e a tutti gli altri 0 fino ad esaurire le variabili.
(la base sarà composta però soltanto da due vettori liberi perchè Imf ha dimensione 2).
Se scrivo quanto detto in questo modo:
x=1 y=0 z=0 t=0
x=0 y=1 z=0 t=0
fino ad esaurire le variabili mi ritrovo la matrice $I4$.È un caso oppure c'è una qualche spiegazione?
Ultima modifica di JackPirri il 12/12/2017, 09:18, modificato 1 volta in totale.
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Re: Isomorfismi

Messaggioda feddy » 12/12/2017, 00:00

JackPirri ha scritto:Sia f un omomorfismo
$f:R2→R2$

Allora tutte le applicaziobi di questo tipo sono isomorfismi?


Assolutamente NO. Deve essere una biiezione: è sufficiente provare che $ker f=vec0 $ per l'iniettività e dunque $Im(f)$ abbia dimensione massima


Per quanto riguarda la base dell'immagine, pensa alla definizione e al teorema che hai giustamente citato. Dovresti riuscire a risponderti da solo :wink:
In caso chiedi pure
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Re: Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 12/12/2017, 09:24

Ciao feddy, quindi un'applicaziine tra spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione non è detto che sia un isomorfismo ( bisogna verificare che è biettiva).Però un isomorfismo è definito solo tra spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione ( che però possono essere anche diversi), giusto?

Per quanto riguarda la base dell'immagine, non riesco ad individuare il teorema a cui ti riferisci.La prof ce lo ha presentato come un semplice "trucchetto", almeno per il momentoin attesa di usare le matrici.Potresti spiegarmelo?Grazie infinite.
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Re: Isomorfismi

Messaggioda feddy » 12/12/2017, 09:47

JackPirri ha scritto:Ciao feddy, quindi un'applicaziine tra spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione non è detto che sia un isomorfismo ( bisogna verificare che è biettiva).Però un isomorfismo è definito solo tra spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione ( che però possono essere anche diversi), giusto?


Sì, gli spazi di partenza e arrivo devono avere stessa dimensione.

JackPirri ha scritto:Per quanto riguarda la base dell'immagine, non riesco ad individuare il teorema a cui ti riferisci.

Lo hai citato tu stesso: nullità più rango ti permette di ricavare la base dell'immagine.
Ricorda che $Im(f)={f(v):v \in V}$, per $f:V rarr W$, con $V,W$ spazi vettoriali finitamente generati
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Re: Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 12/12/2017, 10:10

Un'ultima cosa: mi scrivi un esempio di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali diversi ma che hanno la stessa dimensione?

Io so che il teorema di nullità più rango mi premette di conoscere la dimensione dell'immagine ( e quindi se l'applicazione è suriettiva) o del nucleo noti o l'una o l'altra.Per la base dell'immagine invece devo adottare il procedimento che ho scritto sopra e non capische perchè mi esce una matrice identica.Grazie per la disponibilità.
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Re: Isomorfismi

Messaggioda feddy » 12/12/2017, 10:19

$f:M_{2,2}(RR) \rarr RR_3[X]$, $ [ ( a , b ),( c , d ) ] \mapsto a X^3 + bX^2+cX+d$ ...l'ho scritta a caso. Lo spazio $M_{2,2}(RR)$ è lo spazio delle matrici quadrate di ordine $2$ a coefficienti reali. Ha dimensione $4$. $RR_3[X]$ è invece lo spazio dei polinomi di grado al più $3$. Ma poichè ogni polinomio è determinato a partire dai suo coefficienti, e tra questi deve esserci anche il termine noto, allora $RR_3[X]$ ha dimensione $4$
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Re: Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 12/12/2017, 10:29

Grazie tante.
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Re: Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 12/12/2017, 10:30

Un'ultimissima cosa: ovviamente l'applicaziine identica oltre che un endomorfismo è anche un isomorfismo, vero?
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Re: Isomorfismi

Messaggioda feddy » 12/12/2017, 11:08

Certo che sì
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Re: Isomorfismi

Messaggioda JackPirri » 12/12/2017, 12:40

Grazie.
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