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$z^n - 1 = (z - \alpha_0)(z - \alpha_1)\cdot ... \cdot (z - \alpha_{n - 1}) = \prod_{k = 0}^{n - 1} (z - alpha_k) \implies $
$\implies (z - 1)(z^{n - 1} + z^{n - 2} + ... + z^2 + z + 1) = (z - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - alpha_k) \implies $
$\implies z^{n - 1} + z^{n - 2} + ... + z^2 + z + 1 = \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - alpha_k) $
Ponendo $z = 1 $ si ottiene:
$ n = \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - alpha_k) $
Prendendo il modulo di entrambi i membri e ricordando che $\alpha_k = cos(frac{2k\pi}{n}) + i sin(frac{2k\pi}{n}) $, $ k = 0, 1, 2, ..., n - 1 $ si ha:
$|n| = |\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - alpha_k)| = \prod_{k = 1}^{n - 1} |1 - alpha_k| = \prod_{k = 1}^{n - 1} |1 - cos(frac{2k\pi}{n}) - i sin(frac{2k\pi}{n}) | = $
$ = \prod_{k = 1}^{n - 1} |2sin(frac{k\pi}{n})[sin(frac{k\pi}{n}) - i cos(frac{k\pi}{n})] | = \prod_{k = 1}^{n - 1} 2sin(frac{k\pi}{n}) = 2^{n - 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} sin(frac{k\pi}{n})$
Dunque in definitiva si ha:
$ prod_{k = 1}^{n - 1} sin(frac{k\pi}{n}) = frac{n}{2^{n - 1}}$
$\implies (z - 1)(z^{n - 1} + z^{n - 2} + ... + z^2 + z + 1) = (z - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - alpha_k) \implies $
$\implies z^{n - 1} + z^{n - 2} + ... + z^2 + z + 1 = \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - alpha_k) $
Ponendo $z = 1 $ si ottiene:
$ n = \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - alpha_k) $
Prendendo il modulo di entrambi i membri e ricordando che $\alpha_k = cos(frac{2k\pi}{n}) + i sin(frac{2k\pi}{n}) $, $ k = 0, 1, 2, ..., n - 1 $ si ha:
$|n| = |\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - alpha_k)| = \prod_{k = 1}^{n - 1} |1 - alpha_k| = \prod_{k = 1}^{n - 1} |1 - cos(frac{2k\pi}{n}) - i sin(frac{2k\pi}{n}) | = $
$ = \prod_{k = 1}^{n - 1} |2sin(frac{k\pi}{n})[sin(frac{k\pi}{n}) - i cos(frac{k\pi}{n})] | = \prod_{k = 1}^{n - 1} 2sin(frac{k\pi}{n}) = 2^{n - 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} sin(frac{k\pi}{n})$
Dunque in definitiva si ha:
$ prod_{k = 1}^{n - 1} sin(frac{k\pi}{n}) = frac{n}{2^{n - 1}}$
... Il che permette ad anto_zoolander di concludere "in mezzo secondo"...
