Continuità e Derivabilità parametri

[Stizzens]

Determinare valori di a e b in modo tale che la funzione sia continua e derivabile nel punto x=1
$ y={ ( (asqrt(2x^2-1)+3bx) x>=1 ),(( 2bx^2+ax )x<1):} $
è possibile che mi riporti a=0 e b=0?
Grazie a chi risponderà

[feddy]

Beh per quei valori sicuramente va bene visto che risulterebbe la funzione identicamente nulla. Prova a postare i tuoi conti

[CaMpIoN]

Il fatto che sia derivabile garantisce anche che la funzione è continua, quindi basta che sia derivabile. Quindi calcola la derivata della funzione, e quindi delle espressioni dentro
$y'={ ( (\frac{4ax}{2\sqrt{2x^2-1}}+3b) x>=1 ),(( 4bx+a )x<1):}$

A questo punto per sapere se la funzione è derivabile, devi fare in modo che la derivata destra e sinistra nel punto $1$ della funzione coincidano. La derivata destra nel punto $1$ è il limite destro in $1$ del rapporto incrementale, la derivata sinistra nel punto $1$ è il limite sinistro in $1$ del rapporto incrementale. Se entrambe le due espressioni sono derivabili in $1$, allora sicuramente le relative derivate destre e sinistre in $1$ sono uguali al valore della derivata in $1$, quindi hai le derivate destre e sinistre. Pertanto basta fare l'uguaglianza della derivata nel punto $1$ sia dell'espressione sopra che quella sotto:

\(\displaystyle 2a+3b=4b+a \)
Da cui ottieni $a=b$. Pertanto la funzione è derivabile e continua in $1$ in tutti i casi in cui $a=b$.

[feddy]

Il fatto che sia derivabile garantisce anche che la funzione è continua, quindi basta che sia derivabile.

Pertanto la funzione è derivabile e continua in 1 in tutti i casi in cui $a=b$.

Per $a=b=1$ non è nemmeno continua.

Oltretutto,

Se entrambe le due espressioni sono derivabili in $1$, allora sicuramente le relative derivate destre e sinistre in $1$ sono uguali al valore della derivata in $1$, quindi hai le derivate destre e sinistre.

Sono certo che quanto sottolineato sia dovuto all'ora (ti capisco).
Basta dire che va imposto che i limiti da destra e da sinistra in $x=1$ per $f(x)$ siano coincidenti. Così facendo sia per la continuità che per la derivabilità hai un sistema di due equazioni in due incognite $a,b$ da risolvere.

[feddy]

Dalla condizione sulla continuità ottieni $b=0$.
Possiamo direttamente sostituirlo nell'espressione della $f$, da cui calcolandone la derivata con le usuali regole (mi pare che tu abbia sbagliato a calcolarla) otteniamo anche $a=0$.

Pertanto effettivamente le funzione è continua e derivabile per $a=b=0$.

[CaMpIoN]

E chi ti dice che la funzione è derivabile? Non puoi assumerlo a priori

Chi ha detto che è derivabile a priori, lo si deve stabilire in base ad $a$ e $b$ scelto.

Per $a=b=1$ non è nemmeno continua.

Non comprendo il motivo della discontinuità, io so che una funzione è derivabile in un punto se esistono e sono uguali la derivata destra e sinistra in quel punto, e per il teorema di continuità la funzione è anche continua in $1$ se derivabile in $1$.

Oltretutto,

Se entrambe le due espressioni sono derivabili in $1$, allora sicuramente le relative derivate destre e sinistre in $1$ sono uguali al valore della derivata in $1$, quindi hai le derivate destre e sinistre.

Sono certo che quanto sottolineato sia dovuto all'ora (ti capisco).

Non capisco se parli dell'errore grammaticale o di logica. Per questo, specifico che le due espressioni sono due funzioni $g(x)$ e $h(x)$, che possono essere derivabili.

Basta dire che va imposto che i limiti da destra e da sinistra in $x=1$ per $f(x)$ siano coincidenti. Così facendo sia per la continuità che per la derivabilità hai un sistema di due equazioni in due incognite $a,b$ da risolvere.

In pratica stai affermando che se una funzione è continua è anche derivabile? Mi pare che sia errato.

[feddy]

Non comprendo il motivo della discontinuità

I due limiti da destra e da sinistra per la $f$ con $a=b=1$ coincidono? No. Il primo (per $x rarr 1^+$) risulta $4$, l'altro $3$.

Tu devi trovare per quali valori la funzione è sia continua (che è una condizione necessaria per la derivabilità) che derivabile.
Per questo motivo dei partire trovando per quali valori sia continua e poi per quali sia derivabile.
Detto in parole povere: se una funzione è continua in un punto, allora lì può essere derivabile. Ma se lì non è continua c'è poco da fare: sicuramente non sarà ivi derivabile.

Non capisco se parli dell'errore grammaticale o di logica

Espressioni derivabili non ha molto senso.

In pratica stai affermando che se una funzione è continua è anche derivabile? Mi pare che sia errato.

Non è quello che ho affermato. Io ho prima imposto la continuità, e poi la derivabilità.

[feddy]

Vedi qui, ci sono una carrellata di esercizi. Come vedi il procedimento è sempre lo stesso

[CaMpIoN]

Il quesito richiedeva di verificare per quali $a$ e $b$ la funzione risulti continua e derivabile in $1$. Il teorema dice che una funzione derivabile è anche continua, allora sapendo questo non ce bisogno di sfruttare la continua e poi la derivabilità in quel punto, semplicemente considero la funzione derivabile in $1$ e calcolo $a$ e $b$ con questo, di certo se questo funziona allora la funzione è anche continua $1$ per gli $a$ e $b$ trovati. Ovviamente questa è teoria, nella pratica vedo che non va bene, ma non lo capisco...

[feddy]

Il punto è che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità, e si dimostra sempre. Ora è tardi ma si dimostra sempre e sono certo che tu lo sappia.
Se non provi prima la continuità, accade ciò che hai fatto te: trovi valori tali che i limiti dei rapporti incrementali (che a dire il vero non hai fatto, e in genere vanno mostrati ) coincidano, ma per tali valori non sai nulla riguardo alla continuità.

Spero di essere stato chiaro.
Ora è tardi e me ne vo a dormire