Triangolo nel triangolo

[axpgn]

Dato un triangolo equilatero inscritto in un cerchio, a sua volta inscritto in un triangolo equilatero come in figura

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se conosciamo l'area del triangolo più piccolo quanto vale l'area di quello più grande?

Cordialmente, Alex

[dan95]

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Il quadruplo... Queste son cose che si fanno all'asilo, dai

[axpgn]

Dimostralo ...

[dan95]

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Capovolgiamo il triangolo più piccolo

[axpgn]

Vorresti dire così?

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Cordialmente, Alex

[dan95]

[melba]

@axpng

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Dando per scontato che i due triangoli siano messi in modo da avere i lati paralleli una dimostrazione potrebbe essere questa;
Traccio le altezze relative ai lati del triangolo ABC. Ottengo sei triangoli uguali OFC, OFA, OAD, ODB, OBE e OEC, rettangoli (per costruzione).Traccio FC'. Il triangolo FOC' è equilatero perchè a due lati uguali e l'angolo fra essi compreso di 60°, quindi FC' = OC'. Ma dato che il triangolo FCC' è isoscele (gli angoli alla base sono ambedue di 30°), abbiamo anche FC' = CC'. Ossia FC' è congruente alla metà dell'ipotenusa OC. Anche il triangolo OF'C' è rettangolo, ed avendo l'angolo in O in comune e l'ipotenusa in rapporto 1/2 con l'ipotenusa del triangolo OFC, tutti i suoi lati stanno nello stesso rapporto 1/2 con quelli del triangolo OFC. Di conseguenza le aree staranno nel rapporto 1/4. Stesso ragionamento si ripete per le altre cinque coppie di triangoli rettangoli OFA e OF'A', OAD e OA'D', ODB e OD'B', OBE e OB'E', OEC e OE'C'. E nello stesso rapporto 1/4 stanno le aree dei triangoli ABC e A'B'C' in quanto somme rispettivamente di OFC, OFA, OAD, ODB, OBE e OEC e di OF'C', OF'A', OA'D', OD'B', OB'E' e OE'C'.

Saluti

Melba

[axpgn]

[melba]

Più semplice:

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Dato che in un triangolo equilatero l'ortocentro divide l'altezza in due parti l'una il doppio dell'altra, abbiamo:
OV'=2OH', OV'=OH e quindi OH' =1/2OH, di conseguenza V'H'=1/2VH ossia l'altezza del triangolo equikatero inscritto è la metà di quella del triangolo equilatero circoscritto e altrettanto si può dire dei lati. Ne deriva che le areee stanno fra loro in rapporto 1/4.

Melba

[axpgn]

Ho la sensazione che si possa risolvere in moltissimi modi ...
Quasi, quasi mi verrebbe da chiedere: invece di trovare una soluzione semplice, chi trova quella più complicata?
Questione di gusti, ovviamente...

Cordialmente, Alex