Sottoinsiemi di $RR$ e relazione d'ordine.

[AnalisiZero]

Ciao,

Sia $RR+={x in RR: x>=0}$ , $RR- ={x in RR: x<=0}$
Nel libro c'è scritto che :$RR+$ unione $RR-$ $= RR$ discende dalla totalità dell'ordine, e che ($RR+$ intersezione $RR-$ $={0}$) discende dall'antisimmetria dell'ordine. Sia chiaro, il problema non sono le semplici operazioni tra gli insiemi, ma non capisco perché il risultato delle operazioni discende dalla relazione d'ordine di $RR$.

Grazie.

[Plepp]

Che l'ordine su $RR$ è totale vuol dire che ogni coppia di numeri $x,y$ è confrontabile, cioè si ha $x\le y$ oppure $y\le x$. Nota che questo non vale per una relazione d'ordine qualsiasi. Ad esempio, non vale per la relazione di inclusione tra i sottoinsiemi di un dato insieme (in altri termini, non è totalmente ordinato l'insieme parzialmente ordinato $(\mathcal{P}(X),\subseteq )$, dove $\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$). Da ciò hai che ogni numero reale $x$ sta in $RR_+$ oppure in $RR_-$.

Che l'ordine su $RR$ è antisimmetrico significa che $x=y$ quando simultaneamente $x\le y$ e $y\le x$. Quindi se $x\in RR_+$ e $x\in RR_-$ dev'essere $x=0$.

[AnalisiZero]

Che l'ordine su $RR$ è totale vuol dire che ogni coppia di numeri $x,y$ è confrontabile, cioè si ha $x\le y$ oppure $y\le x$. Nota che questo non vale per una relazione d'ordine qualsiasi. Ad esempio, non vale per la relazione di inclusione tra i sottoinsiemi di un dato insieme (in altri termini, non è totalmente ordinato l'insieme parzialmente ordinato $(\mathcal{P}(X),\subseteq )$, dove $\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$). Da ciò hai che ogni numero reale $x$ sta in $RR_+$ oppure in $RR_-$.

Che l'ordine su $RR$ è antisimmetrico significa che $x=y$ quando simultaneamente $x\le y$ e $y\le x$. Quindi se $x\in RR_+$ e $x\in RR_-$ dev'essere $x=0$.

Vediamo se ho capito.
Inizio dalla seconda spiegazione:
Devo fare l'intersezione tra i due sottoinsiemi, devo cioè trovare $x: x>=0 and x<=0$ , ma a causa dell'antisimmetria dell'ordine di $RR$ relativamente alla relazione $<=$ deve essere necessariamente $x=0$. Cioè $0$ è l'unico elemento per cui è vero che $x: x>=0 and x<=0$.

La prima.
Devo unire i due sottoinsiemi:
Devo trovare un insieme i cui elementi $x$ siano tali che $x>=0 or x<=0$. È allora evidente che questo insieme è $RR$, infatti a causa della totalità dell'ordine la coppia $(x,0)$ è sempre confrontabile, il caso in cui entrambe le proposizioni sono vere è $x=y$ cioè $x=0$.

Ci sono?

[Plepp]

La prima.
Devo unire i due sottoinsiemi:
Devo trovare un insieme i cui elementi $x$ siano tali che $x>=0 or x<=0$. È allora evidente che questo insieme è $RR$, infatti a causa della totalità dell'ordine la coppia $(x,0)$ è sempre confrontabile, il caso in cui entrambe le proposizioni sono vere è $x=y$ cioè $x=0$.
Ci sono?

Tu volevi dimostrare che $RR=RR_+\cup RR_-$. Ovviamente $RR_+\cup RR_{-} \subseteq RR$ (l'unione di due sottoinsiemi è a sua volta un sottoinsieme); l'altra inclusione segue dalla totalità dell'ordine. La frase in rosso non capisco cosa c'entra.

Sul resto ok

[AnalisiZero]

La prima.
Devo unire i due sottoinsiemi:
Devo trovare un insieme i cui elementi $ x $ siano tali che $ x>=0 or x<=0 $. È allora evidente che questo insieme è $ RR $, infatti a causa della totalità dell'ordine la coppia $ (x,0) $ è sempre confrontabile, il caso in cui entrambe le proposizioni sono vere è $ x=y $ cioè $ x=0 $.
Ci sono?

Tu volevi dimostrare che $ RR=RR_+\cup RR_- $. Ovviamente $ RR_+\cup RR_{-} \subseteq RR $ (l'unione di due sottoinsiemi è a sua volta un sottoinsieme); l'altra inclusione segue dalla totalità dell'ordine. La frase in rosso non capisco cosa c'entra.

Sul resto ok

La frase in rosso l'ho scritta per puntualizzare che questa proposizione : $ x>=0 or x<=0 $ , è vera anche se entrambe le proposizioni più interne sono vere, ed è il caso in cui $x=0$.

In ogni caso grazie mille per l'aiuto