diagonalizzabilità operatore autoaggiunto

[zio_mangrovia]

Potreste aiutarmi a capire se le mie affermazioni sono corrette, giusto per fare una verifica?

1. Sia $A:X->X$ un operatore autoaggiunto, è sempre diagonalizzabile su $RR$ (per il teorema spettrale)
2. un operatore autoaggiunto (indipendentemente dal dominio di $X$, se $RR$ o $CC$) è tale se la sua matrice associata ha elementi reali sulla diagonale e quelli opposti coniugati
3. non esistono operatori autoaggiunti diagonalizzabili su $CC$

[cooper]

ti contesterei solo la 3: tutti gli operatori autoaggiunti che sono diagonalizzabili in $RR$ lo sono anche in $CC$

[dissonance]

Probabilmente zio mangrovia vuole dire che gli operatori autoaggiunti hanno tutti gli autovalori reali, il che è vero.

[cooper]

in tal caso non potrei che essere d'accordo allora. cambierei "diagonalizzabili" con la tua frase però

[dissonance]

È detto molto male, sono d'accordo.

[zio_mangrovia]

ti contesterei solo la 3: tutti gli operatori autoaggiunti che sono diagonalizzabili in $RR$ lo sono anche in $CC$

E' vero! ci avevo pensato... ma sentirlo dire da qualcun altro mi da maggior sicurezza

[dissonance]

Si ma che cosa significa "diagonalizzabile in \(\mathbb R\)" e "diagonalizzabile in \(\mathbb C\)" allora? Zio mangrovia, puoi dare la definizione di queste due proprietà, per favore? In termini matematici precisi, mi raccomando, non a parole.

[zio_mangrovia]

Si ma che cosa significa "diagonalizzabile in \(\mathbb R\)" e "diagonalizzabile in \(\mathbb C\)" allora? Zio mangrovia, puoi dare la definizione di queste due proprietà, per favore? In termini matematici precisi, mi raccomando, non a parole.

premetto che le affermazioni sono state da me pensate ed esposte solo per comprendere meglio i concetti e senz'altro non trovano corrispondenza in termini matematici.
Ci provo: un operatore si dice diagonalizzabile in $RR$ se esiste una base (formata da elementi in $RR$) rispetto alla quale la sua matrice associata è diagonale. Stessa cosa per in campo $CC$. Giusto?

[dissonance]

Prima di tutto,

premetto che le affermazioni sono state da me pensate ed esposte solo per comprendere meglio i concetti e senz'altro non trovano corrispondenza in termini matematici.

In matematica, una cosa che "non trova corrispondenza in termini matematici" semplicemente non esiste. Tuttalpiù puoi parlare di qualcosa che "non ha una dimostrazione formale, ma solo una giustificazione intuitiva o euristica". Ma in ogni caso DEVI usare i termini matematici per esprimerla, altrimenti nessuno ti darà retta.

Ci provo: un operatore si dice diagonalizzabile in R se esiste una base (formata da elementi in R) rispetto alla quale la sua matrice associata è diagonale. Stessa cosa per in campo C. Giusto?

No, purtroppo è completamente senza senso. Stai mischiando tutto in modo confuso. Se $X$ è il tuo spazio vettoriale, una base è un insieme di elementi di \(X\), NON di elementi di \(\mathbb R\) o di \(\mathbb C\). Una base non può "essere formata da elementi in \(\mathbb R\)".

Il problema è che stai cercando di esprimere un concetto che non ha senso. Non ha senso parlare di diagonalizzabilità in senso reale o complesso per un operatore lineare. Questo perché lo spazio vettoriale \(X\) che ti è stato assegnato può essere reale OPPURE può essere complesso, non può essere entrambe le cose.

È vero che esiste una procedura, detta "complessificazione", per costruire uno spazio vettoriale complesso a partire da uno spazio vettoriale reale, ma qui si va nel difficile e non è il caso di parlarne adesso.

[zio_mangrovia]

negli appunti leggo: un operatore si dice diagonalizzabile in R se esiste una base rispetto alla quale la sua matrice associata è diagonale, e se diagonalizzabile nei $RR$ significa che esistono autovalori reali altrimenti nei $CC$ se esistono autovalori complessi. Adesso?