Allee ha scritto:... posso affermare che sono poli del primo ordine ...
Purtroppo no. In generale, per affermare che sono poli di ordine $k$, è necessario dimostrare che i seguenti limiti:
$[lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n gt= 0] ^^ [n ne 2]$
$[lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n gt= 0] ^^ [n ne 2]$
$[lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n lt 0]$
$[lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n lt 0]$
esistano diversi da $0$. Oppure, sviluppare in serie di Laurent. Tuttavia, se si procede mediante i limiti, meglio determinare prima l'ordine dei poli con un po' di esperienza:
$[z=0]$ è un polo del secondo ordine
$lim_(z->0)z^2(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->0)1/\pi(\piz^2)/(sin\piz^2)(z^2-2)=-2/\pi$
$[z=-sqrtn] ^^ [n gt 0] ^^ [n ne 2]$ sono poli del primo ordine
n pari
$lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z-sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z-sqrtn)=(2-n)/(2\pisqrtn)$
n dispari
$lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z-sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z-sqrtn)=(n-2)/(2\pisqrtn)$
$[z=sqrtn] ^^ [n gt 0] ^^ [n ne 2]$ sono poli del primo ordine
n pari
$lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z+sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z+sqrtn)=(n-2)/(2\pisqrtn)$
n dispari
$lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z+sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z+sqrtn)=(2-n)/(2\pisqrtn)$
$[z=-isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$ sono poli del primo ordine
n pari
$lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z-isqrt(-n))=(2-n)/(2\piisqrt(-n))$
n dispari
$lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z-isqrt(-n))=(n-2)/(2\piisqrt(-n))$
$[z=isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$ sono poli del primo ordine
n pari
$lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z+isqrt(-n))=(n-2)/(2\piisqrt(-n))$
n dispari
$lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z+isqrt(-n))=(2-n)/(2\piisqrt(-n))$