Integrale definito ?

Messaggioda simonerusso64 » 03/01/2018, 23:50

Sto risolvendo l'integrale tra 0 e 2 di [ln(4+x²)]dx.
Ho calcolato l'integrale indefinito, che mi risulta :
ln(x²+4)x-2x+8arctgx+c

Vado poi a sostituire lo 0 e il 2 per ottenere l'integrale definito :
[ln(8)2-2(2)+8arctg(2)]-0

-4+2ln8+8arctg2.

Coma mai a me esce 8arctg2 invece di π ?

Il risultato del libro è -4+π+ln64.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda seb » 04/01/2018, 00:22

Perché \(8\arctan{x}\) non è giusto; prova a postare i passaggi e vediamo cosa non è andato bene.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda simonerusso64 » 04/01/2018, 00:27

L'integrale indefinito è giusto, poiché l'ho controllato con WolframAlpha. Il problema è il passaggio a quello definito, e su questo ho già postato i passaggi.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda seb » 04/01/2018, 00:31

L'integrale indefinito non è giusto, come peraltro mostra WolframAlpha.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda simonerusso64 » 04/01/2018, 00:46

ln(4+x²)x- int[x*(2x)/(x²+4)] =
ln(x²+4)x-2 int[x²/(x²+4)] =
ln(x²+4)x-2 int[(x²+4-4)/(x²+4) =
ln(x²+4)x-2 int[(x²+4)/(x²+4)]dx - int[4/(x²+4)]dx =
ln(x²+4)x-2(x-4arctgx)
ln(x²+4)x-2x+8arctgx+c

P.S Scusatemi per la scrittura e spero che si capisca.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda seb » 04/01/2018, 01:00

Penso che lo sappia pure tu che la derivata di \(\arctan{x}\) è \((1+x^2)^{-1}\) e non \((4+x^2)^{-1}\). Dunque, come si risolve quell'integrale? Lo si riconduce alla forma più generale\[\int\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x=\arctan{f(x)}+c,\>c\in\mathbb{R}\]Tenendo questo a mente:\[4\int\frac{\mathrm{d}x}{4+x^2}=2\int\frac{{}^1\!/\!_2}{1+\left({}^x\!/\!_2\right)^2}\mathrm{d}x=2\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}+k,\>k\in\mathbb{R}\]Dimmi se è chiaro
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda simonerusso64 » 04/01/2018, 01:23

In pratica hai raccolto il 4 al denominatore, in modo da far comparire l'1. Poi ( x/2 )² al denominatore e l1/2 al numeratore mi è chiaro. L'unica cosa che non riesco a capire è dove va il 4 raccolto al denominatore e perché davanti all'integrale diventa 2.

Sarà sicuramente una cosa banale, ma non riesco a capire ciò.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda seb » 04/01/2018, 02:39

Sì, sì, è semplice. Il \(4\) raccolto a denominatore se ne va col \(4\) che moltiplica l'integrale oppure, senza raccogliere a denominatore, scompare dividendo numeratore e denominatore per \(4\). Davanti all'integrale, invece, compare un \(2\) perché si vuole ottenere a numeratore la derivata di \({}^x\!/\!_2\) che è \({}^1\!/\!_2\) e perciò si moltiplica e divide per \(2\). Scrivendo tutti i passaggi leziosamente:\[\int\frac{4}{4+x^2}\mathrm{d}x=\int\frac{4}{4\left(1+{}^{x^2}\!/\!_4\right)}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{1+({}^x\!/\!_2)^2}\mathrm{d}x=\int\frac{2\cdot{}^1\!/\!_2}{1+({}^x\!/\!_2)^2}\mathrm{d}x\]
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda pilloeffe » 04/01/2018, 02:41

Ciao simonerusso64,

L'integrale proposto è il seguente:

$int_0^2 ln(4 + x^2) dx $

Come hai giustamente osservato, conviene risolvere preventivamente l'integrale indefinito seguente:

$int ln(4 + x^2) dx $

che si risolve abbastanza facilmente per parti considerando come fattore finito $f = ln(4 + x^2) $ e come fattore differenziale $dg = dx $:

$int ln(4 + x^2) dx = x ln(4 + x^2) - int frac{2x^2}{4 + x^2} dx = x ln(4 + x^2) - 2 int frac{x^2}{4 + x^2} dx = $
$ = x ln(4 + x^2) - 2 int frac{4 + x^2 - 4}{4 + x^2} dx = x ln(4 + x^2) - 2 int dx + 8 int frac{1}{4 + x^2} dx = $
$ = x ln(4 + x^2) - 2x + 8 int frac{1}{4[1 + (x/2)^2]} dx = x ln(4 + x^2) - 2x + 2 int frac{1}{1 + (x/2)^2} dx = $
$ = x ln(4 + x^2) - 2x + 4 int frac{1/2}{1 + (x/2)^2} dx = x ln(4 + x^2) - 2x + 4 arctan(x/2) + c $

ove negli ultimi passaggi è stato fatto buon uso dell'ottimo suggerimento che ti ha già dato seb.
A questo punto calcolare l'integrale definito proposto è semplice, infatti si ha:

$int_0^2 ln(4 + x^2) dx = [x ln(4 + x^2) - 2x + 4 arctan(x/2)]_0^2 = $
$ = 2 ln(4 + 4) - 4 + 4 arctan(1) = 2 ln 8 - 4 + 4 \cdot frac{\pi}{4} = \pi + ln 64 - 4 $

che è proprio il risultato fornito dal tuo libro.
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Re: Integrale definito ?

Messaggioda simonerusso64 » 04/01/2018, 02:42

Ok grazie mille ad entrambi, ora è chiarissimo.
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