Classificazione punti singolari isolati

Messaggioda Allee » 21/12/2017, 19:47

Salve vi scrivo chiedendovi dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio di analisi complessa:
Sia $ f(z)=(z^2-2)/(sin(piz^2)) $ classificare i punti singolari isolati
Dunque procedo nella determinazione degli zeri a numeratore e denominatore:
Il denominatore si annulla per $ z=+-sqrt(k) $
Il numeratore invece si annulla per $ z=+-sqrt(2) $
A questo punto come classifico le singolarità?
Allee
New Member
New Member
 
Messaggio: 51 di 52
Iscritto il: 09/03/2015, 23:01
Google Chrome 63.0.323 Google Chrome 63.0.323
Windows 10 64 bits Windows 10 64 bits

Messaggioda Sergeant Elias » 25/12/2017, 15:36

Allee ha scritto:Dunque procedo nella determinazione degli zeri a numeratore e denominatore ...

Veramente, lo studio del denominatore è incompleto:

$[sin\piz^2=0] rarr [\piz^2=n\pi] ^^ [n gt= 0] rarr [z^2=n] ^^ [n gt= 0] rarr [z=+-sqrtn] ^^ [n gt= 0]$

$[sin\piz^2=0] rarr [\piz^2=n\pi] ^^ [n lt 0] rarr [z^2=n] ^^ [n lt 0] rarr [z=+-isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$

Quindi, hai senz'altro dei poli per:

$[z=+-sqrtn] ^^ [n gt= 0] ^^ [n ne 2]$

$[z=+-isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$

Invece, per quanto riguarda $[z=+-sqrt2]$, si può procedere calcolando i seguenti limiti:

$[lim_(z->-sqrt2)(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [lim_(z->sqrt2)(z^2-2)/(sin\piz^2)]$

Per esempio:

$[z=w+sqrt2] rarr [lim_(z->sqrt2)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(w->0)1/\pi(\pi(w^2+2sqrt2w))/(sin[\pi(w^2+2sqrt2w)])=1/\pi]$

Insomma, $[z=sqrt2]$ è una singolarità eliminabile.
Sergeant Elias
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1058 di 1156
Iscritto il: 17/07/2016, 11:55
Google Chrome 63.0.323 Google Chrome 63.0.323
Windows Seven 64 bits Windows Seven 64 bits

Re: Classificazione punti singolari isolati

Messaggioda Allee » 12/01/2018, 21:46

Grazie per la risposta, e scusa se ti disturbo ancora, ma dunque posso affermare che
$ z=+-sqrt(n) $ con $ n>=0 $ e $ n!=2 $
$ z=+-isqrt(-n) $ con $ n<0 $
sono poli del primo ordine?
Perdonatemi se dopo tanto tempo torno su questo post ma l'esercizio non mi è ancora del tutto chiaro
Allee
New Member
New Member
 
Messaggio: 52 di 52
Iscritto il: 09/03/2015, 23:01
Google Chrome 63.0.323 Google Chrome 63.0.323
Windows 10 64 bits Windows 10 64 bits

Messaggioda Sergeant Elias » 12/01/2018, 23:11

Allee ha scritto:... posso affermare che sono poli del primo ordine ...

Purtroppo no. In generale, per affermare che sono poli di ordine $k$, è necessario dimostrare che i seguenti limiti:

$[lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n gt= 0] ^^ [n ne 2]$

$[lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n gt= 0] ^^ [n ne 2]$

$[lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n lt 0]$

$[lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))^k(z^2-2)/(sin\piz^2)] ^^ [n lt 0]$

esistano diversi da $0$. Oppure, sviluppare in serie di Laurent. Tuttavia, se si procede mediante i limiti, meglio determinare prima l'ordine dei poli con un po' di esperienza:

$[z=0]$ è un polo del secondo ordine

$lim_(z->0)z^2(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->0)1/\pi(\piz^2)/(sin\piz^2)(z^2-2)=-2/\pi$


$[z=-sqrtn] ^^ [n gt 0] ^^ [n ne 2]$ sono poli del primo ordine

n pari

$lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z-sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z-sqrtn)=(2-n)/(2\pisqrtn)$

n dispari

$lim_(z->-sqrtn)(z+sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z-sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->-sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z-sqrtn)=(n-2)/(2\pisqrtn)$


$[z=sqrtn] ^^ [n gt 0] ^^ [n ne 2]$ sono poli del primo ordine

n pari

$lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z+sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z+sqrtn)=(n-2)/(2\pisqrtn)$

n dispari

$lim_(z->sqrtn)(z-sqrtn)(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)((z^2-n)(z^2-2))/((z+sqrtn)sin\piz^2)=lim_(z->sqrtn)1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z+sqrtn)=(2-n)/(2\pisqrtn)$


$[z=-isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$ sono poli del primo ordine

n pari

$lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z-isqrt(-n))=(2-n)/(2\piisqrt(-n))$

n dispari

$lim_(z->-isqrt(-n))(z+isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->-isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z-isqrt(-n))=(n-2)/(2\piisqrt(-n))$


$[z=isqrt(-n)] ^^ [n lt 0]$ sono poli del primo ordine

n pari

$lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](z^2-2)/(z+isqrt(-n))=(n-2)/(2\piisqrt(-n))$

n dispari

$lim_(z->isqrt(-n))(z-isqrt(-n))(z^2-2)/(sin\piz^2)=lim_(z->isqrt(-n))1/\pi(\pi(z^2-n))/sin[\pi(z^2-n)](2-z^2)/(z+isqrt(-n))=(2-n)/(2\piisqrt(-n))$
Sergeant Elias
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1113 di 1156
Iscritto il: 17/07/2016, 11:55
Google Chrome 63.0.323 Google Chrome 63.0.323
Windows Seven 64 bits Windows Seven 64 bits


Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti