Integrale trigonometrico con teorema dei residui

[feddy]

Quindi, moltiplicando per $-i/(2z^5)$, ottengo proprio il coefficiente della potenze $-1$-esima! Ci sono finalmente! (oggi sono proprio fuso).

Mentre per gli altri punti, sostanzialmente devo agire allo stesso modo, sempre sviluppando con Laurent immagino.

[anonymous_0b37e9]

Ci ho ripensato. Trattandosi di poli del 2° ordine è meglio la formula. Prima o poi faccio i conti. Sono fattibili, anche perché i poli sono reali e opposti.

[feddy]

In effetti è sufficiente fare il limite per $z \rarr z_0$ di $((z-z_0)^2f(z))'$, con $z_0=sqrt(3)/3$.Provo pure io. Grazie mille SE, mi hai dato una grandissima mano !

[feddy]

Da conti precedenti mi risulta che il residuo nel polo $z=0$ vale $[-i/2*(-91/27)]=[i91/54]$

[feddy]

An sì, ma i poli $z_{1,2}=+-sqrt(3)/3$ sono del prim'ordine!

Per cui, calcolando $[lim_(z -> z_1) (z-z_1)f(z)=-49/54\mathbb{i} ]$ . Dal momento che sono reali e opposti, anche il limite per $z \rarr z_2$ risulta $[-49/54\mathbb{i}]$.

In definitiva

$ int_(0)^(2pi) (cos^2(3t))/(5-3*cos(2t))dt=2*pi*\mathbb{i}*(-49/54mathbb{i] - 49/54mathbb{i] +91/54mathbb{i])=7pi/27 $

[anonymous_0b37e9]

... ma i poli $[z_(1,2)=+-sqrt(3)/3]$ sono del 1° ordine ...

Hai senz'altro ragione, non me ne ero accorto. A questo punto, poiché:

$-i/(2z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)=i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z+sqrt3/3)(z-sqrt3/3)(z^2-3))$

per il calcolo dei residui:

$Res(-sqrt3/3)=lim_(z->-sqrt3/3)i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z-sqrt3/3)(z^2-3))=-49/54i$

$Res(sqrt3/3)=lim_(z->sqrt3/3)i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z+sqrt3/3)(z^2-3))=-49/54i$

Inoltre:

$-1/3(z^4+2z^2+1)[3z^4-2z^2+1+o(z^4)][1+10/3z^2-z^4+100/9z^4+o(z^4)]=...-91/27z^4+... rarr$

$rarr Res(0)=91/54i$

In definitiva:

$\int_{0}^{2\pi}cos^2(3t)/(5-3cos(2t))dt=2\pii(-49/54i-49/54i+91/54i)=7/27\pi$

Per essere sicuro ho rifatto i conti. Insomma, siamo a cavallo.

[feddy]

Ahaha non ti fidavi proprio, eh?

Anzi, ti ringrazio moltissimo, era uno dei primi esercizi che facevo e avevo bisogno di conferme.

[anonymous_0b37e9]

Prima o poi faccio i conti.

Ho mantenuto una promessa. Buon proseguimento.