Serie convergente con parametro

[davide.fede]

Salve, volevo riportare un esercizio sulle serie che ho svolto, ma tuttavia non sono sicuro di aver usato un procedimento corretto. Avendo la serie $\sum_{n=1}^oo [sqrt(1+n^a)-1]/n$ devo determinare per quale valore di a converge. Avendo appurato che il criterio del rapporto è inconcludente in questo caso (lo ho svolto ed ho ottenuto $1$ ) uso il criterio del confronto asintotico: per $x rarr oo$ $[sqrt(1+n^a)-1]/n$ $~=$ $[n^(a/2)sqrt(1+1/n^(a))-1]/n$ $~=$ $[n^(a/2)]/n$ $~=$ $1/n^(1-a/2)$ e quindi perché converga $a<0$ che è il risultato corretto. Ho sbagliato qualcosa ? Ed in caso come avrei dovuto fare ?

[Berker]

Rilancio
$$\sum \frac{\sqrt[n]{1+n^a} -1}{n}$$

[davide.fede]

Rilancio
$$\sum \frac{\sqrt[n]{1+n^a} -1}{n}$$

Non ho capito scusa

[pilloeffe]

Ciao davide.fede,

Si vede subito che la serie proposta non può convergere se $a > 0 $

Poi per $n \to +infty $ si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty} [sqrt(1 + n^a)-1]/n = sum_{n=1}^{+\infty} [(sqrt(1 + n^a)-1)(sqrt(1 + n^a)+1)]/(n(sqrt(1 + n^a)+1)) = $
$ = sum_{n=1}^{+\infty} (n^a)/(n(sqrt(1 + n^a)+1)) $ \( \displaystyle \sim \) $ sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(2n^(1 - a)) = 1/2 sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(n^(1 - a)) $

e l'ultima serie scritta converge se $1 - a > 1 \implies a < 0 $

[davide.fede]

Ciao davide.fede,

Si vede subito che la serie proposta non può convergere se $a > 0 $

Poi per $n \to +infty $ si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty} [sqrt(1 + n^a)-1]/n = sum_{n=1}^{+\infty} [(sqrt(1 + n^a)-1)(sqrt(1 + n^a)+1)]/(n(sqrt(1 + n^a)+1)) = $
$ = sum_{n=1}^{+\infty} (n^a)/(n(sqrt(1 + n^a)+1)) $ \( \displaystyle \sim \) $ sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(2n^(1 - a)) = 1/2 sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(n^(1 - a)) $

e l'ultima serie scritta converge se $1 - a > 1 \implies a < 0 $

Grazie mille, sapevo di star sbagliando qualcosa nell'equivalenza asintotica, anche perché avevo al numeratore $n^-a$ .