Integrale improprio

[emilianoo]

Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo integrale improprio al variare di $k>0$, qualcuno può darmi una mano per favore?

$\int_1^2 (x^2-1)/((x^3-x^2)^k log(e-e^x+1))dx$

allora per $x->1^+$: il numeratore lo scompongo in $(x-1)(x+1)$ mentre la parte logaritmica del denominatore è asintotica a $e-e^x$. La funzione quindi è asintotica a $(x-1)/((x^3-x^2)^k (e-e^x))$, fin qui credo di averlo svolto bene, dopo cosa dovrei fare? considerare l'infinitesimo di ordine maggiore? se si qual'è?

per $x->2^-$ la funzione converge per $k>0$

[pilloeffe]

Ciao emilianoo,

Per $x \to 1^+ $ si ha:

$ int_1^2 (x^2-1)/((x^3-x^2)^k log(e-e^x+1))dx $ \( \displaystyle \sim \) $int_1^2 2(x-1)/((x-1)^k (e-e^x)) dx = - 2 int_1^2 (x-1)/((x-1)^k (e^x - e)) dx = $
$ = - frac{2}{e} int_1^2 (x-1)/((x-1)^k (e^{x - 1} - 1)) dx $ \( \displaystyle \sim \) $ - frac{2}{e} int_1^2 1/(x-1)^k dx $

e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole se $k < 1 $

In definitiva l'integrale improprio proposto converge se $k \in (0, 1) $

[emilianoo]

Grazie mille pilloeffe, sei stato gentilissimo e chiarissimo