Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

Messaggioda Frostman » 07/02/2018, 19:07

Salve, avrei bisogno di una mano con questo problema:

Un pendolo semplice di massa m=2 kg e lunghezza l=2.3 m è appeso a un carrello sospeso di massa M = 10 kg, che può muoversi senza attrito lungo una guida orizzontale. Inizialmente, il sistema è mantenuto fermo nella configurazione in figura, con il filo teso. Successivamente, il corpo di massa m è lasciato cadere. Determinare, nell’istante in cui il pendolo è in direzione verticale: a) lo spostamento Δx del carrello, b) il modulo v della velocità del carrello e c) la tensione T del filo.

Il punto a, l'ho risolto ponendo l'origine dell'asse x nel carrello, e ponendo la distanza di 2.3 m del corpo avente massa 2 kg, ho calcolato il centro di massa e ho trovato la distanza in cui entrambi i corpi si trovano nella configurazione in cui il pendolo è verticale. Per il secondo punto ho pensato di sfrutta la conservazione dell'energia meccanica in relazione alla quantità di moto totale del sistema. Ho posto che la quantità di moto totale del sistema, cioè del corpo di massa 2 kg avente velocità v1 e del corpo di massa 10 kg avente velocità v2 fosse uguale a zero. L'energia meccanica del sistema si conserva visto che si hanno solo forze conservative dunque ho che l'energia potenziale del corpo m e del corpo M è uguale all'energia potenziale del corpo M, all'energia cinetica del corpo m (con velocità v1) e all'energia cinetica del corpo M (con velocità v2).

Volevo sapere come risolvere il punto c e sapere se il punto b fosse giusto
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Messaggioda Sergeant Elias » 08/02/2018, 22:05

Frostman ha scritto:Inizialmente, il sistema è mantenuto fermo nella configurazione in figura, con il filo teso.

Sarebbe meglio chiarire.
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Re: Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

Messaggioda Frostman » 09/02/2018, 11:07

Hai ragione



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Messaggioda Sergeant Elias » 09/02/2018, 12:26

Per quanto riguarda il punto a), l'ascissa del centro di massa è costante. Quindi, è sufficiente determinare l'ascissa iniziale del centro di massa e svolgere alcuni semplici calcoli visto che, quando il pendolo è lungo la verticale, l'ascissa del carrello è uguale a quelle del pendolo. Per quanto riguarda il punto b), se conservi l'energia meccanica e la quantità di moto lungo l'orizzantale, hai un sistema di due equazioni le cui incognite sono le velocità orizzontali del carrello e del pendolo. Per quanto riguarda il punto c, lascio a te illustrare almeno un tentativo di risoluzione.
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Re: Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

Messaggioda Vulplasir » 09/02/2018, 12:34

Cosa ci assicura che l'energia si conservi? La tensione del filo potrebbe compiere lavoro
Le poloidi sono interpretabili come traiettorie nello spazio delle fasi.
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Messaggioda Sergeant Elias » 09/02/2018, 22:56

Vulplasir ha scritto:La tensione del filo potrebbe compiere lavoro ...

Indicando con $A$ l'estremo del filo collegato al carrello e con $B$ l'estremo del filo collegato alla massa puntiforme, nel caso in cui il filo sia inestensibile e rimanga sempre teso, $vec(v_A)$ e $vec(v_B)$ soddisfano la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi. Inoltre, nel caso in cui la massa del filo sia trascurabile, $vec(T_B)=-vec(T_A)$. Quindi:

$[vec(v_B)=vec(v_A)+vec\omegaxx(B-A)] ^^ [vec(T_B)=-vec(T_A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*[vec(v_A)+vec\omegaxx(B-A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A)-vec(T_A)*[vec\omegaxx(B-A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A)-[(B-A)xxvec(T_A)]*vec\omega rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A) rarr$

$rarr vec(T_A)*vec(v_A)+vec(T_B)*vec(v_B)=0$

Per il principio di azione e reazione, indicando con:

$vec(F_A)=-vec(T_A)$

la forza che il filo esercita sul carrello e con:

$vec(F_B)=-vec(T_B)$

la forza che il filo esercita sulla massa puntiforme, si ha:

$vec(F_A)*vec(v_A)+vec(F_B)*vec(v_B)=0$
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Re: Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

Messaggioda Vulplasir » 10/02/2018, 00:35

Ottima idea quella di osservare che l'atto di moto del sistema è rigido
Le poloidi sono interpretabili come traiettorie nello spazio delle fasi.
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Messaggioda Sergeant Elias » 10/02/2018, 09:15

Grazie dell'apprezzamento. Dopo averci pensato un po', mi è sembrata una dimostrazione abbastanza diretta.
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Re: Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

Messaggioda mgrau » 10/02/2018, 10:47

Vulplasir ha scritto:Cosa ci assicura che l'energia si conservi? La tensione del filo potrebbe compiere lavoro

Io veramente pensavo che fosse una battuta di spirito...
Perchè, ci sono casi in cui la tensione di un filo inestensibile, a lunghezza fissa, può compiere lavoro?
Potete portare un esempio?
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Messaggioda Sergeant Elias » 10/02/2018, 11:00

Ciao mgrau. Nel manuale del mio docente di meccanica razionale, a proposito del corpo rigido, si dimostrava che le reazioni vincolari interne dovute ai vincoli di rigidità non compiono lavoro. Sembra scontato ma ti assicuro che la dimostrazione era sulla falsa riga di quella che ho riportato nel caso in esame.
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