Limite di funzione

[floyd123]

Ciao a tutti, potete darmi una mano con questo limite, per favore?
$ lim x->+infty ((e^(2x)+senx)/(x^3+1))^(1/x) $
Non so proprio da dove partire, mi sembra molto strano...

[floyd123]

Partirei scrivendo il limite in tale forma $ e^((1/x) log...) $. Ma poi?

[M.C.D.]

Partirei scrivendo il limite in tale forma $ e^((1/x) log...) $. Ma poi?

L'idea è buona, poi nell'argomento del log potresti mettere $e^(2x)$ in evidenza al numeratore e $x^3$ al denominatore ed usare le proprietà dei logaritmi

[floyd123]

Partirei scrivendo il limite in tale forma $ e^((1/x) log...) $. Ma poi?

L'idea è buona, poi nell'argomento del log potresti mettere $e^(2x)$ in evidenza al numeratore e $x^3$ al denominatore ed usare le proprietà dei logaritmi

Grazie per la risposta! Quel $ senx $ come lo tratto nella messa in evidenza?

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

Il limite proposto è il seguente:

$ lim_{x \to +\infty} ((e^{2x} + sin x)/(x^3+1))^{1/x} = lim_{x \to +\infty} e^{ln[(e^{2x} + sin x)/(x^3+1)]^{1/x}} = lim_{x \to +\infty} e^{ln[(e^{2x}(1 + frac{sin x}{e^{2x}}))/(x^3(1 + 1/x^3))]^{1/x}} = $
$ = lim_{x \to +\infty} e^{ln[(e^{2}(1 + frac{sin x}{e^{2x}})^{1/x})/(x^{3/x}(1 + 1/x^3)^{1/x})]} = lim_{x \to +\infty} e^{ln[e^{2}(1 + frac{sin x}{e^{2x}})^{1/x}] - ln[x^{3/x}(1 + 1/x^3)^{1/x}]} = $
$ = lim_{x \to +\infty} e^{2 + ln(1 + frac{sin x}{e^{2x}})^{1/x} - ln x^{3/x} - ln(1 + 1/x^3)^{1/x}} = lim_{x \to +\infty} e^{2 + frac{ln(1 + frac{sin x}{e^{2x}})}{x} - 3 ln x^{1/x} - frac{ln(1 + 1/x^3)}{x}} = $
$ = lim_{x \to +\infty} e^{2 + frac{ln(1 + frac{sin x}{e^{2x}})}{frac{sin x}{e^{2x}}} \cdot frac{frac{sin x}{e^{2x}}}{x} - 3 ln x^{1/x} - frac{ln(1 + 1/x^3)}{1/x^3} \cdot 1/x^4} = e^{2 + 1 \cdot 0 - 3 ln 1 - 1 \cdot 0} = e^2 $

essendo com'è noto $lim_{x \to +\infty} x^{1/x} = 1 $

[francicko]

×@Pilloeffe.
$lim_(x->infty)x^(1/x)=lim_(x->infty)e^(1/x×(logx))=e^((lim_(x->infty)logx/x))=e^0=1$ essendo noto che $lim_(x->infty)logx/x=0$
È corretto?
Si poteva anche procedere nel modo seguente o sbaglio?
$=lim_(x->infty)e^(1/x×ln [(e^(2x)(1+sinx/e^(2x)))/(x^3 (1+1/x^3 )]]$ $ =e^((lim_(x->infty)1/x×log (e^(2x)/x^3))) $ $=e^((lim_(x->infty)((2x)loge-3logx)/x) )$ $=e^((lim_(x->infty)(2x)/x))$ $=e^2$

[pilloeffe]

Ciao francisko,

È corretto?

Si poteva anche procedere nel modo seguente o sbaglio?

No, non sbagli, tutto corretto...
La sfida che mi ero "autoimposto" era cercare di risolverlo facendo uso dei soli limiti notevoli...

[floyd123]

Grazie mille, gentilissimi!