E' crescente questa funzione?

Messaggioda olanda2000 » 08/02/2018, 01:28

La funzione così definita :

f(x) = x per x appartenente a Q (razionale)
f(x) = 0 per x non appartenente a Q (irrazionale)

è crescente nell'origine , ma non in alcun suo intorno.

Come mai ? Dipende dal fatto che tra due reali c'è sempre un numero razionale?
Però non capisco la crescenza nel punto x=0

Grazie e saluti
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda Vulplasir » 08/02/2018, 02:50

E che diamine significa una funzione crescente in un punto? La funzione in un punto vale f(x)...come fa a crescere o decrescere...
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda olanda2000 » 08/02/2018, 12:02

significa che non hai studiato : Funzioni monotòne in un punto
Una funzione f si dice crescente in un punto c del suo dominio se esiste un intorno di c tale che, nell'intorno, x<= c implica f(x)<= f(c) Ovvia la modifica per il concetto di funzione decrescente. Se le disuguaglianze valgono in senso stretto, si parlerà di funzioni strettamente crescenti o strettamente decrescenti.
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda Vulplasir » 08/02/2018, 12:21

Ho studiato e meglio di te, la definizione non ha nessun senso
Ultima modifica di Vulplasir il 13/02/2018, 14:15, modificato 1 volta in totale.
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda gio73 » 09/02/2018, 09:02

Ciao olanda
trovo questa domanda molto difficile...

possiamo azzardare e dire che questa funzione non è mai continua?
L'origine però è un punto un po' particolare
$f(0)=0$ e 0 è razionale
se ci spostiamo un po' $(0^+; 0^-)$ cosa succede?
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda gio73 » 12/02/2018, 13:42

beh UP

trovo la domanda molto insidiosa, c'è il concreto rischio di dire delle castronerie e proprio per questo mi interessa

allora comincio io così semai la figuraccia la faccio io

Dicevamo che la nostra funzione vale 0 quando $x=0$, io non so che numero viene subito dopo(prima) di zero, ma i casi sono 2:

o è razionale o non lo è

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0

cosa succede se mi sposto anche di pochissimo ($10^(-100)$)? Che avrò infiniti numeri tra zero e pochissimo alcuni corrisponderanno al loro valore ad esempio $f(10^(-102))=10^(-102)$; $f(10^(-101))=10^(-101)$, molti altri, quelli irrazionali, corrisponderanno a zero e quindi la funzione non è continua, no matter how short is the gap.
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda olanda2000 » 12/02/2018, 23:38

la tua risposta è compatibile con quella data dal testo (Rodino, lez.analisi matematica ,p.145 - Levrotto e Bella Torino).
Nel testo ne usa di tali funzioni, anche f(razionale)=x^2 , f(irraz)= 0 per fare un'esempio di funzione convessa nell'origine ma non in un intorno dell'origine! Mi ricordano la funzione di Dirichlet , casi patologici insomma. Ciao
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda olanda2000 » 12/02/2018, 23:46

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0


Ma allora in entrambi i casi è crescente nell'origine! quindi il testo aveva ragione! Sia y=x che y=0 sono crescenti in zero!
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda Ernesto01 » 12/02/2018, 23:59

É crescente nell'origine, infatti preso un intorno $I=[-r,r]$ si ha che $ \forall x in I , x<=0 => f(x)<=f(0)=0$ (infatti $f(x)$ è o negativo oppure 0, per $x$ negativo)

Non è crescente in un intorno di 0.
Supponiamo che tale intorno sia $J$ allora esiste $r>0$ tale che $I=[-r,r] subset J$ e $f$ è ivi crescente. Per la densitá di $QQ$ si ha che: esiste un irrazionale $s \in [0,r]$, ed esiste un razionale $q in [0,s]$ diverso da 0.
Ma $0<q<s$ e $q=f(q)<=f(s)=0$ assurdo
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Re: E' crescente questa funzione?

Messaggioda anto_zoolander » 13/02/2018, 01:47

Per tutti.
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Non mi fate arrabbiare vulplasir.


@olanda
Un po’ di umiltà non ha mai fatto male, bisogna mettere in dubbio ciò che si fa. Quantomeno ogni tanto....
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
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