Spazi di hilbert?

Messaggioda kyrgios92 » 12/02/2018, 11:35

domanda:
lo spazio l2 è uno spazio di hilbert, ma in esso ci sono sempre infiniti elementi e quindi ha sempre dimensione infinita ?
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Re: Spazi di hilbert?

Messaggioda killing_buddha » 12/02/2018, 12:03

Anche in $RR$ ci sono infiniti elementi, cosa c'entra?
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Re: Spazi di hilbert?

Messaggioda kyrgios92 » 12/02/2018, 12:04

killing_buddha ha scritto:Anche in $RR$ ci sono infiniti elementi, cosa c'entra?

cioè scusa,volevo dire devo far vedere che una base è fatta da un numero infinito di elementi ?
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Re: Spazi di hilbert?

Messaggioda Ernesto01 » 13/02/2018, 18:22

Prendi ${e_n}$ con $e_n$ che ha tutti zeri, tranne un 1 nell'n-esimo termine della successione.
Cioè $e_1=(1,0,0...)$,$e_2=(0,1,0,...)$ ect.
Dimostri che $<e_n,e_m> =\delta_{nm}$ (facile)
Quindi ${e_n}$ è un sistema ortonormale numerabile, sarebbe da dimostrare che è completo, cioè che $span{e_n}$ è denso in $l^2$ (non è difficile). Altrimenti è noto che ogni sistema ortonormale è contenuto in un sistema ortonormale completo, da cui segue che $l^2$ ha una base ortonormale infinita.
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Re: Spazi di hilbert?

Messaggioda Delirium » 13/02/2018, 23:45

... se lo spazio di Hilbert e' separabile (ne esistono anche di non, tipo lo spazio delle funzioni continue quasi periodiche).
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