Ordine di infinitesimo senza formule di Taylor

[Sccnc]

Salve,
Sto trovando alcuni problemi nel calcolo dell'ordine degli infinitesimi. Gli esercizi che sto cercando di svolgere vengono presentati prima della trattazione delle formule di Taylor, quindi sto cercando di risolverli senza utilizzare Taylor.
Per esempio:

$ an = lim_(n rarr +oo) (n² (sin(1 / n) - 1 / n + 1 / 6 ln(1 + 1 / n³)))/(1/n^m) $

Mi viene chiesto di confrontare $ an $ con le potenze di $ 1 / n $[/formule] quando [formule]$ nrarr +oo $

Procedo con il calcolo del limite:

$ lim_(n rarr +oo) (n² (((sin(1 / n))/(1/n)*1/n) - 1 / n + 1 / 6 ((ln(1 + 1 / n^3))/(1/n^3)*(1/n^3))))/(1/n^m) $

Uso i limiti notevoli:

$ lim_(n rarr +oo) (n² (((sin(1 / n))/(1/n)*1/n) - 1 / n + 1 / 6 ((ln(1 + 1 / n^3))/(1/n^3)*(1/n^3))))/(1/n^m) $

Semplificando ottengo:

$ lim_(n rarr +oo) (n² (1 / (6n^3)))/(1/n^m) $

$ lim_(n rarr +oo) (1 / (6n))/(1/n^m) $

Quindi, per ricavare l'ordine di infinitesimo:

$ m-1=0 $
$ m=1 $

Ma il risultato del libro è 4.

Non riesco a capire dove ho sbagliato. Potete aiutarmi?

Grazie mille.

[pilloeffe]

Ciao Sccnc,

Benvenuto sul forum!

quindi sto cercando di risolverli senza utilizzare Taylor

Sicuro? Perché al numeratore vedo cancellazioni fino al terzo ordine, quindi senza Taylor la vedo dura...

$ sin(1/n) - 1/n + 1/6 ln(1 + 1/n^3) = 1/n - 1/(6n^3) + 1/(120n^5) - 1/n + 1/(6n^3) + o(1/n^6) = 1/(120n^5) + o(1/n^6) $

Quindi si ha:

$ n^2[sin(1/n) - 1/n + 1/6 ln(1 + 1/n^3)] = 1/(120n^3) + o(1/n^4) $

[Sccnc]

Grazie mille per la risposta!
Però adesso mi sorge un dubbio: dato che gli o piccolo possono essere trascurati, l'ordine di infinitesimo della successione considerata dovrebbe essere 3 e non 4 come propone il libro, giusto?