Matrice Limitata in Norma

[luke123]

Buonasera regazzi,
Vi scrivo per un problema che mi sta facendo uscire pazzo da un'oretta e su cui mi sono un attimo bloccato.
Secondo un teorema che ho appena studiato:

Sia \(\displaystyle f: R^n x R^t -> R^n \) un campo vettoriale continuo e differenziabile. Se la matrice Jacobiana associata ad f è limitata in norma, allora f è QUAD

.

Secondo voi, cosa vuol dire limitata in norma? Innanzitutto, che norma?

Ho messo la domanda qui perché il dubbio che più mi attanaglia riguarda la norma. Se ritenete che sia più opportuno postarla in un'altra sezione, chiedo ad un moderatore la cortesia di spostarla.

Un grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

In generale tra due spazi $V,W$ isomorfi puoi ‘scambiare le norme’ ovvero

$||*||:V->RR$ è una norma
$L in Iso(W,V)$

Allora $||*||circL:W->V->RR$ è una norma su $W$

Infatti $||L(w)||geq0,forall w inW$ poiché $L(w)inV$
E $||L(w)||=0 <=> L(w)=vec(0)_V$ ma $L$ è isomorfismo e quindi è iniettivo e pertanto $L(w)=vec(0)_V$ sse $w=vec(0)_W$

$||L(lambdaw)||=||lambdaL(w)||=lambda||L(w)||,forallw inW$

$||L(w+u)||=||L(w)+L(u)||leq||L(w)||+||L(u)||,forallw,u inW$

Pertanto posto $||*||_W:=||*||_VcircL$ si conclude

Quindi una qualsiasi norma da te conosciuta su $RR^k$ puoi usarla per trarne una qualsiasi norma su uno spazio isomorfo ad esso.

Questo ovviamente vale anche per gli spazi matriciali
Dire che una matrice sia limitata in norma significa direnche se avessimo $A(x),x=(x_1,...,x_k)$ per $x inAsubsetRR^k$ allora $existsMinRR^(+):||A(x)||leqM,forallx inA$

[luke123]

Grazie, davvero!

[dissonance]

@luke: Non ti è stata specificata la norma perché sugli spazi di matrici (o più in generale, sugli spazi di dimensione finita) tutte le norme sono equivalenti, perciò una funzione è limitata rispetto ad una norma se e solo se essa è limitata rispetto a tutte le norme.

Grosso modo credo sia questo ciò che anto vuole dire, anche se lo fa in modo incasinato e impreciso (anto devi curare di più la scrittura, rileggiti).

[anto_zoolander]

L’ho scritto mentre guidavo però hai ragione, mi metto alla prova ogni volta

[Magma]

L’ho scritto mentre guidavo

Che telefoni usi? Per me è già tanto riuscire a scrivere una parola dal cellulare su un forum


P.S. Spero di non incrociarti mai in macchina

[anto_zoolander]

iPhone 6s plus
Ormai sono skillato in merito

[luke123]

Una norma vale l'altra, forse avrei dovuto saperlo!

Grazie ragazzi!

[anto_zoolander]

Aspetta.
Quello che ti è stato detto(almeno da parte mia) è che tra due spazi isomorfi puoi ottenere una norma su uno spazio, per mezzo di una norma su un altro spazio con un isomorfismo.
Era per dirti come puoi vedere una norma matriciale partendo da uno spazio isomorfo a quello delle matrici.

In generale però la definizione di norme equivalenti su uno stesso spazio normato è diversa
Dato uno spazio $V$ e date due norme: $||*||_1$ è equivalente a $||*||_2$ se e solo se

$existsm,MinRR^(+):m||x||_2leq||x||_1leqM||x||_2,forallx inV$

Quindi per ogni coppia di norme equivalenti, puoi dimostrare che un insieme di vettori è limitato in $||*||_1$ se e solo se è limitato in $||*||_2$

Chiaramente se prendi l’insieme delle norme su uno spazio vettoriale, questa relazione essendo di equivalenza, dona una partizione dell’insieme delle norme.
Quindi per ogni norma che prendi da questo spazio, ce ne saranno tot ad essa equivalenti.

Quindi alla tua domanda risponderei: qualsiasi norma prendi, se un sottoinsieme di vettori è limitato in norma, allora qualsiasi altra norma tu prenda equivalente ad essa, ti darà la stessa proprietà.