Palle convesse :-D

[anto_zoolander]

Dovevo dimostrare che per ogni spazio affine euclideo $(A,V)$ con metrica euclidea indotta dalla norma, le palle sono tutte convesse.
O comunque più in generale la seguente cosa:
Definisco $[y,z]$ come il sostegno della curva $phi(t)=y+tvec(z-y), t in[0,1]$

dati $x inA$ e $r>0$. Se dati $z,y inA$ si ha che $d(x,z)<r$ e $d(x,y)<r$ allora $d(x,h)<r,forallh in[y,z]$

Prendo la funzione $f(t)=||[y+tvec(z-y)]-x||^2$

Svolgendo: $f(t)=t^2||vec(z-y)||^2+2t(vec(z-y)*vec(y-x))+||vec(y-x)||^2$

Chiaramente tale funzione assume massimo assoluto in $t=1$ e minimo assoluto in $t=0$
Ovvero per $t=1$ si ha $f(1)=||z-x||^2<r^2$ pertanto componendo $f$ con la radice di avrà che

$max_(t in [0,1])sqrt(f(t))=sqrt(max_(t in[0,1])f(t))<r$

Ma non c’è un modo più elegante?

Il problema nasce dal voler mostrare che questi insiemi sono connessi.
Ovvero supponendo per assurdo che sia sconnesso, $existsA_1,A_2inTsetminus{emptyset}:A_1capA_2=emptyset,A_1cupA_2=B(x,r)$ allora otteniamo che se $y inA_1$ e $z inA_2$ allora $[y,z]subseteqA_1cupA_2$ da questo dovrei finire per mostrare che almeno un punto appartiene ad entrambi

[Delirium]

Se vuoi dimostrare la convessità delle palle ti basta scrivere la definizione di convessità (metrica, quella col segmento) e usare disuguaglianza triangolare e omogeneità della norma.

[anto_zoolander]

Quella che ho scritto è sbagliata?

Ci ho provato, ma viene

$||vec([y+tvec(z-y)]-x)||leq||vec(y-x)||+|t|||vec(z-y)||<r+||vec(z-y)||$

[Ernesto01]

Prendi $v,w$ interni alla palla $B_r(y)$
Poni $alpha=tv+(1-t)w$ con $t in [0,1]$.
Allora
$||alpha-y|| = ||tv+(1-t)w-ty-(1-t)y|| <= t||v-y|| + (1-t) ||w-y|| <r$ per ogni $t$.
Che sarebbe la stessa cosa detta da Delirium.
Comunque penso si potesse dimostrare senza perdita di generalità per $B_1(0)$, anche se cambia poco.

[Delirium]

Quella che ho scritto è sbagliata?

Ci ho provato, ma viene

$||vec([y+tvec(z-y)]-x)||leq||vec(y-x)||+|t|||vec(z-y)||<r+||vec(z-y)||$

Anto, ogni volta che vedo 'sti vettoroni mi viene il cancro...
Comunque confermo quanto scritto da Ernesto (non che ce ne fosse bisogno).

[anto_zoolander]

Ma non lo faccio per sport... il problema è che per me $y,z$ sono punti, non vettori.
Per gli spazi normati è chiaro che uso quella da voi postata, ma quì ho in mezzo punti e la scrittura $tP+(1-t)Q$ la vedo come $Q+tQP$ che è una operazione ben definita in uno spazio affine.
Posso prendere un riferimento $R(O,B)$

prendendo il sottospazio affine
$Q+<QP> ={X inA:QX=tQP}={X inA:OX=OQ+tQP}$

In questo caso la scrittura $OX=tOP+(1-t)OQ$ per me ha senso.

Quindi se nello spazio euclideo considero il segmento e la palla

$[X,Y]={Z inA:OZ=tOY+(1-t)OX,t in[0,1]}$

$B(P,r)={R inA:||PR||<r}$

Allora presi $X,Y inB(P,r)$ possiamo mostrare quello che serve, in quel modo.
Poiché se $H in[X,Y]$ allora $OH=tOY+(1-t)OX$

$||PH||=||tOY+(1-t)OX-tOP-(1-t)OP||=||tPY+(1-t)PX||leqt||PY||+(1-t)||PX||<r$

Non voglio risultare pedante con i ‘formalismi’ ma mi chiedo sempre cosa possa fare e cosa no.

NB
Chiaramente il segmento $[X,Y]$ non dipende dal particolare punto fissato, ma solo dagli estremi.
Di fatto sia $O’ inA$ un altro punto, allora

$O’H=O’O+OH=tOY+(1-t)OX=O’O+tO’O-tO’O+tOY+(1-t)OX=tO’Y+(1-t)O’X$

Quindi $[X,Y]_O=[X,Y]_(O’)$