Re:

Messaggioda Shackle » 21/02/2018, 18:30

anonymous_0b37e9 ha scritto:Ciao Shackle. Lo spostamento orizzontale del disco dovrebbe essere dovuto alla reazione vincolare interna tra il punto materiale e il disco medesimo.


Ciao S. @anonymous_0b37e9 . Questa non l'ho capita.

polbos ha scritto:Anche io all' inizio ero caduto in quel errore: visto che ci sono solo forze verticali non può muoversi orizzontalmente.
In effetti il centro di massa non si sposta orizzontalmente, il problema che il centro di massa non è il centro del disco.


D'accordo , il CM , che chiamo $G$ per brevità , si trova in un punto facilmente determinabile, sul raggio passante per $C$. Nella posizione iniziale in figura, $G$ non è nel punto più basso rispetto al piano, quindi l'energia potenziale non è minima : $G$ deve abbassarsi, se vogliamo la posizione di equilibrio stabile (lascio perdere le oscillazioni) . E giustamente, siccome nella posizione iniziale di figura la quantità di moto del sistema in direzione orizzontale è nulla, tale deve rimanere durante il moto. Allora , $G$ si può spostare solo verso il basso, siete d'accordo?

Perciò , abbiamo tre vincoli che devono essere rispettati :

1)- Il centro $O$ del disco deve mantenere distanza costante $R$ dal piano : è l'unico punto del cerchio che conserva questa distanza . Perciò può spostarsi solo in orizzontale ;
2)- il baricentro $G$ , per quanto sopra detto , può spostarsi solo in verticale verso il basso ;
3)- la distanza $OG$ deve rimanere costante ;

mi sapete dire come si sposta questo disco ? Trasla , ruota , o meglio rototrasla ? Qual è , anzi quali sono , i centri di istantanea rotazione ? Non certo il punto di contatto col piano...Ho provato a fare dei disegnini , ma non mi tornano ... :roll:
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Vulplasir » 21/02/2018, 18:51

Immagine

Dovrebbe essere qualcosa del genere, le frecce rosse sono le velocità del punto di contatto e del baricentro G, il centro di istantanea rotazione è in P, la retta viola è la polare fissa, la circonferenza viola è la polare mobile
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 21/02/2018, 19:10

Ciao Shackle.

polbos ha scritto:Un corpo puntiforme di massa m è fissato al disco in un punto C ...

Intendevo dire che, per soddisfare il vincolo interno di cui sopra, il corpo puntiforme di massa non trascurabile e il disco devono interagire mediante una reazione vincolare interna avente una componente lungo la direzione orizzontale.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Shackle » 21/02/2018, 19:27

anonymous_0b37e9 ha scritto:Ciao Shackle.

polbos ha scritto:Un corpo puntiforme di massa m è fissato al disco in un punto C ...

Intendevo dire che, per soddisfare il vincolo interno di cui sopra, il corpo puntiforme di massa non trascurabile e il disco devono interagire mediante una reazione vincolare interna avente una componente lungo la direzione orizzontale.


Non c'è dubbio che tra massa e disco ci sia un interazione , ma è appunto interna , e il sistema costituito da disco+massa solidale è un corpo rigido . Una azione interna non può causare il moto di un corpo rigido . Alla fine , è sempre la gravità la forza esterna che fa abbassare $G$ .

Comunque , la figura di Vulplasir mi sembra corretta....ma non troppo . Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale ?
Ultima modifica di Shackle il 21/02/2018, 19:39, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 21/02/2018, 19:39

Per quanto mi riguarda, mi era sfuggito che il centro istantaneo di rotazione dovesse appartenere anche alla retta orizzontale passante per il centro di massa del sistema.

Shackle ha scritto:Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale?

Perché sul sistema complessivo agiscono solo forze esterne dirette lungo la direzione verticale.
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Re: Re:

Messaggioda Shackle » 21/02/2018, 19:58

anonymous_0b37e9 ha scritto:Per quanto mi riguarda, mi era sfuggito che il centro istantaneo di rotazione dovesse appartenere anche alla retta orizzontale passante per il centro di massa del sistema.

Shackle ha scritto:Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale?

Perché sul sistema complessivo agiscono solo forze esterne dirette lungo la direzione verticale.


D'accordo su questo. Ma allora la cinematica non mi torna .
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Vulplasir » 21/02/2018, 20:02

No, le polari sono sbagliate, la polare fissa dovrebbe essere una retta inclinata passante per P, inclinata dalla parte di G, per far si che G si muova solo in verticale...ma in questo modo O non si muoverebbe solo in orizzontale...eh forse la polare fissa è una curva un po' più complicata.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Shackle » 22/02/2018, 06:06

Ho ipotizzato una situazione uguale ma più semplice, per capire come si muove il sistema. Ecco la mia ipotesi.

Il disco ha massa $m$ e raggio $R$, la massa aggiunta vale ancora $m$ e il punto $C_0$ in cui è attaccata al disco è, inizialmente, all’estremo del raggio orizzontale $OC_0$ , a destra. In tal modo, il baricentro $G_0$ del sistema è a metà del raggio, e dista $R/2$ dal centro $O$.
Lasciato il sistema libero di muoversi, $G$ deve spostarsi in verticale, e $O$ deve spostarsi in orizzontale. Immagino ora la situazione “finale “ in cui il raggio é ruotato di $90$ gradi, quindi $C_0$ si trova ora in $C_1$ a contatto col piano liscio , e il baricentro si trova in $G_1$ : siccome per quanto detto il baricentro si deve spostare solo in verticale, per far sì che $G_1$ si trovi sotto $G_0$ il centro O del disco dev’essere traslato di $R/2$ a destra . Ci vorrebbe una figura , forse la farò piu tardi.

Queste sono due configurazioni estreme , naturalmente si possono immaginare situazioni intermedie, per esempio con angolo di rotazione di 45 gradi, e allora lo spostamento di O a destra è di $R/2(1-(sqrt2)/2)$ , sicchè il baricentro è spostato sempre in verticale .
La velocita angolare non è costante , penso si comporti come nel pendolo fisico; neanche la velocità con cui si sposta in orizzontale il centro $O$ è costante .

Non so se queste informazioni siano sufficienti per tracciare le polari del moto, ma non credo . Vulplasir ?
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 22/02/2018, 11:39

Orientando l'asse verticale verso il basso, le equazioni del moto sono le seguenti (se non ho commesso errori di calcolo):

$[(2(M+m),mrcos\theta),(2mcos\theta,(2M+m)r)][(ddotx),(ddot\theta)]=[(mrdot\theta^2sin\theta),(-2mgsin\theta)]$

Poiché il sistema ha due gradi di libertà, determinare la base e la rulletta mi pare un'impresa proibitiva, se non numericamente.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Shackle » 22/02/2018, 15:39

Mi riferisco al mio ultimo post , e allego la figura . Ho indicato con Pos1 la posizione iniziale di partenza , con la massa aggiunta $m$ uguale alla massa del disco , in $C_0$ ,e baricentro del sistema in $G_0$ a metà del raggio ; e con Pos2 la posizione finale con la massa $m$ in $C_1$ , e baricentro in $G_1$ .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine

Il sistema passa da Pos1 a pos2 con una rotazione e una traslazione : la velocita angolare non è costante , e non è costante la velocità di traslazione . Nella terza figura ho sovrapposto le prime due , in modo tale da avere $G_1$ in posizione verticale sotto $G_0$ originale . Per ottenere ciò , il centro $O$ del disco si deve spostare verso destra di $R/2$ .

La velocità angolare media , nella rotazione di $1/4$ di circonferenza, è più grande della velocità angolare che si avrebbe in un moto di puro rotolamento con velocità constante; qui c'è slittamento (senza resistenza di attrito, visto che il piano è liscio) . Infatti , lo spostamento $PC_1$ è uguale a $R/2$, mentre nella rotazione di 1/4 di circonferenza senza slittamento la lunghezza del segmento sul piano, tra i due punti estremi, è pari a : $\pi/2R $ .

Se uno vuole , può fare altri disegni per posizioni intermedie di rotazioni . Per esempio, per una rotazione di $\pi/4 $ , le condizioni cinematiche dette ci dicono che il centro del cerchio si deve spostare in orizzontale di : $ R - Rcos(\pi/4) = R (1-(sqrt2)/2) $ , affinché $G$ rimanga sempre sulla verticale per $G_0$ .

@anonymous_0b37e9 , sarei curioso di sapere come sei arrivato a quelle equazioni . Sono troppo pigro , e forse incapace , per ricavarmele da solo! :? :)

E sono d'accordo con te , determinare le polari del moto non deve essere semplice :smt023
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