Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RuCoLa » 22/02/2018, 09:42

Buongiorno,
Una superficie cilindrica con asse lungo $z$ di raggio $a$ e altezza $h$ ha una resistenza $R$ e un'autoinduttanza $L$.Nello spazio è presente un campo magnetico $B$ diretto lungo $z$. Il campo magnetico $B$ è nullo per $t<0$ e pari a $B_0$ (costante) per $t>0$. Devo calcolare 1) la corrente nel cilindro e 2)la forza elettromotrice indotta all'interno del cilindro dal campo magnetico in funzione del tempo.

Per quanto riguarda 1) la corrente avrà una discontinuità in $t=0$ dopodiché seguirà l'andamento di un esponenziale decrescente pari a $i(t)=ce^(-R/Lt)$ con c costante da determinare con la condizione iniziale. Come calcolo la condizione iniziale? Pensavo di fare così $ \int_{0^-}^{0^+}Ridt = - \int_{0^-}^{0^+}(Ldi/(dt) + \pi a^2 dB/(dt))dt$ per ricavarmi la corrente in $t=0^+$ ma evidentemente il primo membro mi dà problemi.

Stesso discorso per la forza elettromotrice 2) $2\pi r E_(\theta) = \pi r^2 dB/(dt)$. Come calcolo $E_(\theta)$ per integrazione?Dovrebbe venirmi un'impulso nell'origine credo.

Grazie
RuCoLa
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/02/2018, 16:46

RuCoLa ha scritto:... Come calcolo la condizione iniziale? ...

Direi che se dai un'occhiata all'equazione differenziale lo vedi subito quale sarà la discontinuità per la corrente in t=0. :wink:
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RuCoLa » 22/02/2018, 16:57

L'unica cosa che mi viene in mente è che se integro una quantità finita ($Ri$) in un intervallo infinitesimo $dt$ l'integrale a sinistra dovrebbe fare zero. Potrebbe andare? Tuttavia come faccio ad assicurarmi che $i$ sia una quantità finita? Col punto 2) sono proprio bloccato. Potresti darmi un aiuto in più? [-o<
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/02/2018, 17:00

Scusa, ma leggi le risposte che ti si danno? :D
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RuCoLa » 22/02/2018, 17:12

Certo! É per questo che ho fatto il post. Solo che non riesco a capire cosa dovrei vedere. Potresti chiarire cosa intedi per favore?
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/02/2018, 17:18

Certo, ti va di postare l'equazione differenziale associata al sistema?
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RuCoLa » 22/02/2018, 18:00

L'equazione dovrebbe essere questa $Ri = -Ldi/(dt) - pi a^2 dB/(dt)$. Non so come procedere a causa della discontinuità di $B$.
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/02/2018, 18:22

Diciamo quindi che è del tipo

$L\frac{text {d}i(t)}{\text {d}t} +Ri(t)=k \delta(t) $

e a questo punto ti chiedo: qual'è l'unico possibile "bilanciamento" di quella uguaglianza?

Il problema puoi anche risolverlo via Laplace, scrivendo la funzione di trasferimento per la rete R L come rapporto uscita/ingresso \(H(s)=I(s)/V(s)\) e ricordando che l'antitrasformata di $H(s)$ corrisponde alla risposta del sistema ad un ingresso ...
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RuCoLa » 22/02/2018, 22:22

Mmm direi che anche $Ldi/(dt) =Li_0 \delta(t)$? Ed $Ri$? Scusami ma sull'argomento non credo di essere molto preparato...
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Re: Cilindro cavo e campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 23/02/2018, 18:55

Intendo dire che un impulso non può che essere "bilanciato" da un altro impulso di pari ampiezza, e quindi

$L[i(0^+)-i(0^-)]=k$

mentre il termine finito è ininfluente in questo bilanciamento1; normalmente in elettronica si dimostra risolvendo l'equazione differenziale via Laplace.

Note

  1. Equivalente al tuo metodo integrale che, segni a parte, è corretto.
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