floyd123 ha scritto:Grazie pilloeffe
Prego
floyd123 ha scritto:Però vorrei capire come hai fatto a capire che bisognava scomporre il denominatore in quel modo: è una regola particolare?
Si tratta di una scomposizione piuttosto standard che si adotta quando il polinomio a denominatore del tipo $ax^2 + bx + c $ ha $\Delta = b^2 - 4ac < 0 $
floyd123 ha scritto:Inoltre, come si dovrebbe continuare?
Ponendo $u := t + 1/2 $ ci si riconduce ad un integrale del tipo $int frac{du}{u^2 + a^2} $ dove nel tuo caso $a := frac{sqrt{3}}{2} $ che è un integrale ben noto. Dopo qualche semplice calcolo dovresti ottenere il risultato seguente:
$ int (x-1)/(sqrt{x}(x^{3/2}-1)) dx = 2 int frac{t^2 - 1}{t^3 - 1} dt = ln(t^2 + t + 1) + frac{2}{sqrt{3}} arctan(frac{2t + 1}{sqrt{3}}) + c $
Perciò, ricordando la posizione $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \frac{x-1}{\sqrt{x}(x^{3/2}-1)} dx = \ln(x + \sqrt{x} + 1) + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + c}
\end{equation*}