Ultimo esercizio della giornata
Sia $f:RR^2 rarr RR^3$ l'applicazione lineare che trasforma rispettivamente i vettori
$a_1=((1),(0)), a_2=((0),(1)), a_3=((1),(1))$
nei vettori
$b_1=((1),(0),(1)), b_2=((-1),(0),(1)), b_3=((0),(0),(2))$
Stabilire se $f$ sia o meno iniettiva.
Un'applicazione lineare è iniettisa se e solo se $dim Ker(f)=0$, pertanto calcolo la matrice rappresentativa rispetto le basi canoniche.
I vettori $a_1$ e $a_2$ formano la base caonica di $RR^2$ e $a_3$ è linearmente dipendente da questi due. Per quanto riguarda il codominio, i vettori $b_1$ e $b_2$ formano una base incompleta di $RR^3$, mentre $b_3$ ne è linearmente dipendente.
Domanda: ma quando si è in presenza di basi incomplete, come si procede?
Io ho provato a completare la base in questo modo
$B={((1),(0),(1)),((-1),(0),(1)),((0),(1),(0))}$
ma ottengo una matrice rappresentativa che non è corretta...
$M_f=((1/2,0),(1/2,1),(0,0))$
Qualche aiuto?
Grazie!