catapulta

[professorkappa]

Ragazzi, mi trovo un attimo in dubbio, mi occorre una mano.
A uno studente il professore di fisica ha dato questo esercizio:

Una catapulta e' costituita da un telaio (massa ignota) saldamente ancorato al terreno. Il braccio della catapulta ha massa M, lunghezza L e spara proiettili di massa m.
Si carica il braccio dalla verticale fino alla posizione orizzontale, caricando, in questo modo, una molla torsionale di costante k posta nel fulcro del braccio (e' ragionevole pensare che il fulcro si trovi ad altezza 0 nel telaio).
Si pone il proiettile nell'alloggiamento apposito, all'estremita del braccio, e si rilascia. Il braccio scontra con urto totalmente anelastico un fermo posto sulla verticale del fulcro e a distanza h da questo.
Calcolare
1 - La velocita' all impatto un istante prima che la leva sia fermata dallo scontro
2 - La gittata dal proiettile
3 - A che distanza bisogna mettere lo scontro per non avere ripercussioni sul fulcro
4 - Nell'ipotesi che la catapulta non sia ancorata, la velocita all'istante immediatamente successivo all'impatto leva scontro.

Ora, punto 1 ovviamente OK
Per il punto 2, ho detto allo studente che non si puo' applicare ne' la conservazione della qdm, ne' quella del momento angolare, e che, se non facciamo un'assunzione sulle veloctta' dopo l'urto, non possiamo risolvere. Gli ho suggerito dunque di assumere (per me ragionevolmente) che tutta l'energia cinetica al momento dell'impatto si trasferisca nel proiettile.

Bene, il professore dice che non e' necessario fare assunzioni e che i dati del problema sono sufficienti.
Sono io che mi rimbambisco un po' di piu' quotidianamente, oppure no?

La conservazione del momento angolare non si puo applicare. Tutt'al piu' si puo' applicare il teorema dell'impuslo, ma questo e' incognito, quindi se non so che velocita' ha il proiettile dopo, come mi calcolo $DeltaL$?
Il professore, giustamente, dice che assumere che l'energia cinetica del proiettile e' pari a quella proiettile braccio un istante prima del lancio e' barare: la gittata da trovare al punto 2 e' cosi di facile calcolo, troppo. Ma senza quella io non vedo risoluzione.

Any thoughts?

[Vulplasir]

Il problema è indeterminato anche secondo me. In un urto totalmente anelastico non si conserva l'energia, i questo caso, se non ci dice quale frazione di energia si è persa, non si può determinare la velocità del proiettile. L'ipotesi più probabile è un uso a sproposito di "urto toalmente anelastico", il prof. probabilmente intende con ciò solo il fatto che il braccio dopo l'urto è fermo, non che perde energia, e allora in quel caso il problema è risolvibile perché si conserva l'energia meccanica.
Infatti, se non ci desse il dato dell'energia persa (o della sua eventuale conservazione), considerando le incognite $J_1$ e $J_2$ dell'impulso dovuto rispettivamente al fulcro e al fermo, le equazioni cardinali, essendo 2, ci forniscono 2 equazioni in 3 incognite (infatti si potrebbe barare usando due volte l'equazione dei momenti con rispetto al fulcro e al fermo, ottenendo 3 equazioni in 3 incognite, ovviamente una delle 3 è dipendente dalle altre)

[Vulplasir]

Come ulteriore contrprova, se v è nota (assumendo si conservi l'energia o che si perda una quantità di energia nota), allora i due impulsi sono noti univocamente, e dipendono dalla quantità di energia persa. Se per assurdo fosse possibile determinare v e i due impulsi incogniti senza ipotesi sulla quantità di energia conservata, allora significa che quel valore di v e dei due impulsi è vero per qualsiasi valore di energia persa, e questo è un assurdo!

[mathbells]

A me pare che si possa semplicemente dire che la velocità del proiettile è uguale a quella dell'estremità della catapulta nell'istante in cui si blocca, e quindi è quella calcolata al punto 1. Non ci metterei di mezzo nessuna legge di conservazione. Durante la rotazione del braccio il proiettile e l'estremità del braccio si muovono in modo solidale, quindi hanno la stessa velocità ad ogni istante. Nel momento del blocco, il braccio si ferma, mentre il proiettile continua il suo moto, con velocità istantanea pari a quella del braccio. Non ci vedo un urto in questa situazione.

[professorkappa]

Infatti! Quando suppongo che l'energia si trasferisca tutta al proiettile, intendo che l'asta si ferma.
Ma il professore contesta questo fatto, e dice che allora l'urto non sarebbe anelastico.
Dalla soluzione che mi ha portato lo studente, pare che il professore conservi il momento angolare rispetto al fulcro e da li trova la velocita' del proiettile!

[mathbells]

Io non parlerei di energia che si trasferisce perché altrimenti la velocità del proiettile non sarebbe uguale a quella dell'estremità del braccio. È proprio la velocità che si "trasferisce" tout court". Per quanto riguarda la soluzione del prof di conservare il momento angolare non capisco a quale sistema si riferisca. Il sistema braccio-proiettile nell'istante dell'urto con il fermo subisce un momento di forza non nullo (rispetto al fulcro) quindi il momento angolare non si conserva. Bho...non capisco

[professorkappa]

My mistake, sto riguardando le note confusissime che ho. Il momento lo fa conservare rispetto al fermo, perche e' li che c'e' urto. Vabbe', nulla, ha preso un granchione grosso come una casa. Volevo esser certo che non fossi io a travisare o che ci fosse qualcosa che mi sfuggisse qualcosa

[Vulplasir]

Eh ma nemmeno rispetto al fermo il momento si conserva, c'è sempre l'impulso del fulcro

[professorkappa]

Vabbe', nulla, ha preso un granchione grosso come una casa.

[Vulplasir]

@mathbells Cosa ci garantisce che nell'istante dell'urto tra proiettile e braccio non agisca una forza impulsiva che faccia aumentare la velocità del proiettile? In tal caso le equazioni cardinali impulsive sono sempre rispettate