Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate qualsiasi, allora \(\displaystyle \text{tr}\ AB=\text{tr}\ BA \): \[\displaystyle \text{tr}\ AB=\sum_{k=1}^n\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rk}=\sum_{r=1}^n\sum_{k=1}^n b_{rk}a_{kr}=\text{tr}\ BA.\] Nel secondo passaggio uso la definizione di moltiplicazione di matrici: \(\displaystyle c_{ki}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{ri} \) nel caso particolare \(\displaystyle k=i \).
Sono insicuro solo su una cosa: è corretto "swappare" le sommatorie come ho fatto nel terzo passaggio? Ovviamente il prodotto commuta, e se prima sommo sulle colonne prima e sulle righe poi, allora devo sommare ancora nello stesso ordine, e poiché scambio i ruoli di $r$ e $k$, devo invertire le sommatorie (credo).
Inoltre vorrei dimostrare anche questo fatto: il prodotto di due matrici invertibili $A$ e $B$ è ancora invertibile.
Per definizione si ha \(\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=\mathbb{I}_n \) e \(\displaystyle BB^{-1}=B^{-1}B=\mathbb{I}_n \). Devo mostrare che esiste una matrice $C$ tale che \(\displaystyle (AB)C=C(AB)=\mathbb{I}_n \).
Si ha \(\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \), quindi \[\displaystyle (AB)C=(AB)(AB)^{-1}=ABB^{-1}A^{-1}=A\mathbb{I}_nA^{-1}=\mathbb{I}_n \] e analogamente per \(\displaystyle C(AB) \).
Su questa sono più sicuro, anche se magari mi sono allungato un po' più del necessario, è sulla prima che ho avuto maggiori difficoltà.
Edit: aggiungo una dimostrazione più breve che fa uso del determinante. Mi è venuto in mente solo ora che effettivamente \(\displaystyle \det(AB)=\det A\det B\ne0 \) e quindi $AB$ è invertibile (Binet + \(\displaystyle \det A\ne0 \) se $A$ invertibile). Molto più facile!
Grazie in anticipo per ogni feedback!
