Direzione di massima crescita di una funzione

[ludovica_97]

Buonasera, sto preparando l'esame di analisi 3 e sto studiando continuita', derivabilita' e differenziabilita' di funzioni in piu' variabili. A proposito di questo il mio professore ha detto che la direzione di massima crescita di una funzione $f: RR^n->RR^m$ si calcola $(grad(f(x)))/(|| grad(f(x))||)$ e fino a qui tutto bene.
Il mio problema e' dal punto di vista pratico, non riesco infatti ad immaginare graficamente la cosa. So che questa direzione di massima crescita' e' ovviamente un vettore, ma se io avessi il grafico di una funzione, ad esempio in tre dimensioni, come trovo la direzione di massima crescita dal grafico? Potreste aiutarmi, magari con qualche esempio?

[otta96]

Ma che vuol dire massima crescenza se il dominio è $RR^m$ e non $RR$?
Inoltre come lo definisci il gradiente per funzioni di quel tipo? Consideri il Jacobiano?
Non è che forse invece ti sei confusa e hai scritto male il codominio?

[ludovica_97]

Si, scusami, mi sono confusa. Non e' $RR^m$ ma $RR$

[otta96]

Perfetto, ma lo sai perché si calcola in quel modo? Perché saperlo risponderebbe alla tua domanda.
Intanto, sai come formalizzare la direzione di massima crescita?

[ludovica_97]

No, il mio professore ha semplicemente dato questa formula e detto che era la massima crescita della rondine, perciò non so altro

[anto_zoolander]

Ti è noto il fatto che se $f$ è differenziabile in $x_0$ allora per ogni versore $v inRR^n$

$partial_(vec(v))f(x_0)=nablaf(x_0)*vec(v)$?

[ludovica_97]

Ti è noto il fatto che se $f$ è differenziabile in $x_0$ allora per ogni versore $v inRR^n$

$partial_(vec(v))f(x_0)=nablaf(x_0)*vec(v)$?

si

[anto_zoolander]

allora

$|partial_(vec(v))f(x,y)|=|nablaf(x,y)*vec(v)|leq||nablaf(x,y)||*||vec(v)||=||nablaf(x,y)||$

ovvero $|partial_(vec(v))f(x,y)|leq||nablaf(x,y)||$

avendo usando la disuguaglianza di Cauchy/Schwarz possiamo dire che l'uguaglianza vale se e solo se il gradiente è parallelo al versore considerato.

per capire meglio cosa succede consideriamo l'insieme delle 'pendenze nel punto $(x,y)$'

$P_(x,y)={ |partial_(vec(v))f(x,y)| : vec(v) inRR^2}$

abbiamo appena visto che $max_(vec(v) inRR^2)P_(x,y)=||nablaf(x,y)||$ e in particolare quando $vec(v)=(nablaf(x,y))/(||nablaf(x,y)||)$

questo si traduce nel fatto che in ogni punto in cui $f$ sia differenziabile, la derivata direzionale massima è quella offerta dal gradiente.

in generale la diffenziabilità ci aiuta a trovare facilmente il valore $max_(vec(v) inRR^2)P_(x,y)$

[ludovica_97]

Ti ringrazio, finalmente ho capito da dove viene fuori quella formula. Ora ho una domanda dal punto di vista grafico. E' possibile rappresentare sul grafico di una funzione questo risultato??

[anto_zoolander]

In genere il gradiente si applica ai punti del dominio
Diciamo che è possibile mostrare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello e che il verso del gradiente punta dove appunto la funzione sale di più.