axpgn ha scritto:A me ne viene uno solo ...
Visto che l'hai trovato senza sapere che è un punto con una precisa proprietà caratteristica (cioè: anche lui è il centro di qualcosa, analogamente al circocentro, al baricentro, all'incentro e all'ortocentro
, potresti anche rispondere alla seconda domanada, cioè se è l'unico punto a distanze intere sia dai vertici che dai lati o se ce ne sono altri e allora quali sono.
Siccome il triangolo è rettangolo basta un programmino miserello con due FOR uno dentro nell'altro per beccare tutte le coppie di interi coordinate di punti interni (cioè: punti a distanza intera dai cateti) e verificare se sono intere o no le distanze dai vertici e dall'ipotenusa.
Una volta – ormai molti anni fa – programmavo in turboPascal per Macintosh. Il Pascal è un like-english comprensibile anche a chi non l'ha mai incontrato prima.
Dunque ...
- Codice:
[...]
var h, k, m, n: integer;
x, y, z, w: real;
OK: boolean;
begin
n:= 0;
for h:=2 to 459 do
begin
m:= round(h*3/4);
for k:=1 to m do
begin
x:=sqrt(h^2 + k^2); y = sqrt((460-h)^2 + k^2); z:= sqrt(460-h)^2 + (345-k)^2);
OK:= (1,0*rond(x) = x) and (1.0*round(y = y) and (1.0*round(z) = z));
if OK then
begin
w:=sqrt(2((xz)^2+(575*x)^2 +(575*z)^2) -(x^4+z^4+575.0^4)/(2(y+z+575));
OK.=1.0*round(w)=w):
if OK then
begin
n.=n+1;
write('P(',n,'): [x, y] = [',460-h,', k,'}', chr(13))
end
end
end
end;
while non keypressed do
end.
@
giammariaTesto nascosto, fai click qui per vederlo
Hai colto di colpo che si tratta d'una terna pitagorica multipla della [3, 4, 5], cioè [345, 460, 575] = 115·[3, 4, 5] e che 115 = 5·23.
Dunque nel triangolo di lati [3, 4, 5] c'è un punto P tale che le sue distanze dai vertici e dai lati sono razionali e il loro denominatore comune o è 115 o è un divisore di 115.
Se consideri tre cerchi tangenti a due a due e di raggi rispettivi 1, 2 e 3, vedi subito che i loro centri stanno nei vertici del triangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due ci può stare un cerchietto tangente a tutti gli altri tre. Sia r il raggio di questo cerchietto. Il suo centro dista 1 + r da un vertice, 2 + r da un altro e 3 + r dal terzo.
Quando vale questo r?
Beh: t'ho detto anche troppo!
Ciao, ciao.
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