simmetria di una relazione

Messaggioda anto_zoolander » 13/03/2018, 19:42

Mi è venuta questa perplessità dopo tempo:

dato un insieme $A$ e una relazione binaria $RsubseteqAtimesA$
si usa scrivere che $R$ è simmetrica se

$forallx,y inA, (x,y)inR => (y,x) inR$


questo significa letteralmente che per ogni coppia di $x,y inA$, se $(x,y) inR$ allora $(y,x)inR$.

domanda: significa che tale proprietà agisce solo sulle coppie di elementi che sono in relazione e non su qualsiasi coppia di elementi dell'insieme, giusto?

mi sono posto questa domanda, perchè se si dovesse avere una relazione di equivalenza e dovesse essere possibile confrontare ogni coppia di elementi, allora avremmo che tutti gli elementi sarebbero in relazione e pertanto si avrebbe un'unica classe di equivalenza, nonché l'insieme stesso.

In definitiva suppongo che valga solo per le coppie in relazione.
Come mi ha insegnato un buon professore: 'la domanda di uno è il dubbio di molti', quindi la propongo :-D
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Re: simmetria di una relazione

Messaggioda otta96 » 13/03/2018, 19:58

Beh, tecnicamente la proprietà vale per ogni $x,y\inA$, infatti c'è proprio scritto, il punto è che la proprietà ti dice che SE $(x,y)\inR$, ALLORA $(y,x)\inR$, quindi non è che ogni coppia del tipo $(y,x)$ sta in $R$ ma solamente le coppie per le quali riesci a dimostrare che $(x,y)\inR$.
Nel caso in cui hai una relazione simmetrica e totale, cosa succede? Se prendiamo due qualsiasi $x$ e $y$ in $A$, abbiamo che $(x,y)\inR$ oppure $(y,x)\inR$ (per definizione di relazione totale), ma allora per la simmetria hai che $(x,y),(y,x)\inR$, che vuol dire che tutti gli elementi sono in relazione con tutti gli altri (con "tutti gli altri" non intendo solo quelli diversi, loro stessi sono inclusi).
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Re: simmetria di una relazione

Messaggioda anto_zoolander » 13/03/2018, 20:18

Grazie per la risposta :)

La proprietà vale per ogni coppia di elementi dell'insieme.
quello che intendo è che se per esempio se una relazione è simmetrica, possono tranquillamente esistere $x,y inA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ escludendo il fatto che appunto sia totale.

Quindi in particolare è una proprietà che agisce su tutti gli elementi dell'insieme che sono però confrontabili, giusto? anche perchè se $existsx,yinA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ allora $(x,y)inR=>(y,x) inR$ è comunque vera.

Poi se la relazione è totale, allora chiaramente questo non può accadere.
Un esempio di quello che dico è la relazione di uguaglianza, che è una relazione di equivalenza, ma in genere non tutti gli elementi sono confrontabili.
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Re: simmetria di una relazione

Messaggioda otta96 » 13/03/2018, 23:31

Quello che dici è giusto, comunque per il caso speciale dell'uguaglianza si può dire qualcosa di più preciso di quanto hai fatto te, infatti si può dire che per ogni elemento di $A$, lui non è confrontabile con ogni altro elemento diverso da lui.
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Re: simmetria di una relazione

Messaggioda algibro » 14/03/2018, 00:15

anto_zoolander ha scritto:'la domanda di uno è il dubbio di molti', quindi la propongo :-D


eccomi, sono uno dei molti ;).
Ho sottomano questo esempio.
Sia $A={2, 4, 5}$.
Consideriamo la seguente relazione binaria $R={(x,y) \in A \times A : 2|(x-y)}$ ossia la classica relazione di congruenza modulo $2$. Allora la relazione $R$ definita nell'insieme $A$ è una relazione simmetrica ?
La mia risposta è si, anche se vale che $(2,5) \notin R$ e, ovviamente, $(5,2) \notin R$. Giusto ?
Non lo sarebbe stata laddove si fosse verificato che $(2,5) \in R$ non implicava anche $(5,2) \in R$
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