teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 13/03/2018, 23:39

Ciao ragazzi, mi è venuto un dubbio sul teorema dei gusci sferici. Su wikipedia ho trovato che il teorema dei gusci sferici si applica a gusci sferici con densità uniforme, temo però di non aver capito bene questo concetto.

Mi sono trovato davanti ad un problema che mi dava un pianeta composto da un nucleo di raggio R e massa M "avvolto" da una sfera di raggio interno R e raggio esterno 2R e massa 4M. Mi veniva chiesto di trovare la forza gravitazionale agente su una particella posta a distanza (3/2)R dal centro del pianeta.

io ho pensato di applicare il teorema dei gusci sferici considerando la massa della sfera del pianeta rimanente più "interno della sfera" e di impostare nella formula come distanza (3/2)R. Ma il mio pianeta in considerazione NON ha densità costante, perciò ho pensato che in realtà non potessi applicare il teorema dei gusci sferici...

Riuscite a farmi un pò di chiarezza sull'utilizzo del teorema dei gusci sferici e su cosa meglio significhi il discorso sulla densità uniforme? Grazie!!
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda mgrau » 14/03/2018, 09:02

I concetti da applicare sono due.
1 - una massa con simmetria sferica esercita una forza come se l'intera massa fosse nel centro
2 - all'interno di un guscio sferico non si esercitano forze
Ora, nel tuo caso, la simmetria sferica c'è, anche se la densità non è uniforme, quindi si tratta solo di trovare la massa che sta "al di sotto" della particella a distanza 3/2; la massa esterna non ha effetto.
Qual è il volume del guscio? $V_G = 4/3pi((2R)^3 - R^3) = 28/3piR^3$.
Qual è il volume della metà interna del guscio? $V_g = 4/3pi((3/2R)^3-R^3) = 19/6piR^3$
Il volume della metà interna del guscio rispetto al guscio intero è $V_g/V_G = 19/56$, e la sua massa $19/56*4M$ che sommata a quella del nucleo dà $33/14M$, ed è quella che va utilizzata per trovare la forza
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 14/03/2018, 10:11

ok, tutti i passaggi che hai fatto mi tornano, ma ho ancora alcuni dubbi...
1- quando mi dici: " 2- all'interno di un guscio sferico non si esercitano forze" intendi che (nel caso di una sfera) non vengono esercitate forze dalla parte della sfera più esterna al punto in cui si trova la particella in questione?

2- quindi per il teorema dei gusci sferici non è importante che la sfera in questione sia uniforme ma che se fisso un raggio qualunque (a partire dal centro ) all'interno della sfera è importante che il guscio sferico "tracciato" facendo ruotare il raggio abbia densità uniforme lui come singolo e non rispetto ad altri gusci sferici tracciati con raggi di lunghezza diversa ? spero di essere riuscito a farmi capire anche con questo brutto linguaggio...

Grazie!!!
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda mgrau » 14/03/2018, 13:04

matteo_g ha scritto:1- quando mi dici: " 2- all'interno di un guscio sferico non si esercitano forze" intendi che (nel caso di una sfera) non vengono esercitate forze dalla parte della sfera più esterna al punto in cui si trova la particella in questione?


matteo_g ha scritto:2- quindi per il teorema dei gusci sferici non è importante che la sfera in questione sia uniforme ma che se fisso un raggio qualunque (a partire dal centro ) all'interno della sfera è importante che il guscio sferico "tracciato" facendo ruotare il raggio abbia densità uniforme lui come singolo e non rispetto ad altri gusci sferici tracciati con raggi di lunghezza diversa ?

Magari diciamolo in un modo più compatto: la densità deve dipendere solo dal raggio.
Basta che riguardi la dimostrazione del teorema: si prende un punto interno P, da qui si traccia un doppio cono di ampiezza $d theta$, e si guardano le due aree intercettate dai coni sul guscio. Si trova che le due aree sono proporzionali al quadrato della distanza del punto P da ciascuna di esse. Per poter concludere, bisogna che si possa passare dalle aree alle masse, e questo richiede che la densità sia la stessa, da cui si ricava la densità deve essere costante sul guscio. Però ogni guscio fa per sè, quindi non occorre che sia costante rispetto al raggio
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 14/03/2018, 22:13

perfetto, sei stato chiarissimo. Grazie mille.
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 17/03/2018, 11:39

mi è venuto un altro dubbio al riguardo... quando parliamo di un guscio sferico (che ha solo un raggio esterno e non anche un raggio interno) ha senso parlare di densità volumetrica ? perchè non parliamo di densità superficiale ? credo sia una domanda stupida ma questo dubbio vorrei comunque toglierlo.

Grazie!!
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda mgrau » 17/03/2018, 11:46

matteo_g ha scritto: quando parliamo di un guscio sferico (che ha solo un raggio esterno e non anche un raggio interno) ha senso parlare di densità volumetrica ? perchè non parliamo di densità superficiale ?

Certo, se la massa si considera distribuita su una superficie, si deve parlare di densità superficiale... perchè, nel tuo problema originale si parlava di densità di volume?
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 17/03/2018, 11:59

nono, per il mio problema originale non ci sono problemi. Però su wikipedia leggevo ciò:

"Nella meccanica classica, il teorema del guscio sferico (o semplicemente teorema del guscio) consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica.

Formulato da Isaac Newton, che elaborò la teoria della gravitazione universale, esso si compone di due affermazioni:

un guscio sferico di massa M, avente densità uniforme, esercita su una particella esterna una forza gravitazionale pari a quella di una particella puntiforme di massa M posta nel suo centro;
la forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico avente densità uniforme su una particella posta al suo interno è nulla."

e se premo sulla parola densità mi viene le definizione di densità volumetrica. Ma se io ho un guscio sferico definito da un certo raggio R e la mia massa la considero distribuita su una superficie non vedo perchè parlare di densità volumetrica... quando si dice che $ p=m/v $ come V si intende quello occupato dalla massa giusto ? quindi su un guscio sferico vuoto all'interno non avrei alcun volume occupato dalla massa, confermi ?
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda mgrau » 17/03/2018, 12:16

matteo_g ha scritto:"la forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico avente densità uniforme su una particella posta al suo interno è nulla."

e se premo sulla parola densità mi viene le definizione di densità volumetrica. Ma se io ho un guscio sferico definito da un certo raggio R e la mia massa la considero distribuita su una superficie non vedo perchè parlare di densità volumetrica...

Certo: ma dov'è che si parla di densità volumetrica?
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Re: teorema gusci sferici

Messaggioda matteo_g » 17/03/2018, 12:21

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