Espressioni q-arie numeri reali

Messaggioda Ianero » 13/03/2018, 23:49

Ciao ragazzi,
sto cercando di dimostrare che differenti espressioni q-arie, conducono a differenti numeri reali.
Con espressione q-aria di un numero $x \in \mathbb{R}$ intendo un successione di somme parziali $r_n=\alpha_{p} q^{p}+\alpha_{p-1} q^{p-1}+...+\alpha_{p-n} q^{p-n}$ ($q>1$ base della rappresentazione q-aria, $p \in \mathbb{N}$ ordine di $x$ e i digits $\alpha_i \in \mathbb{N}$ che verificano $0<\alpha_i<q$) tali che:

\(\displaystyle r_n \leq x<r_n+q^{p-n} \).

Sono arrivato alla dimostrazione (solo nel caso $q$ intero in realtà) che innanzitutto una espressione q-aria di un numero reale $x$ non può contenere, da un certo indice in poi, solo digits uguali al massimo possibile, ovvero \(\displaystyle \alpha_i = q-1 \). In tal caso infatti sfruttando la disuguaglianza scritta sopra si arriverebbe ad un assurdo.
Poi, sono riuscito a dimostrare (anche qui solo nel caso $q$ intero) che se due successioni di somme parziali $\{r_n\}$ e $\{r'_n\}$ sono diverse da un certo indice $N$ in poi, allora è sufficiente verificare se $\alpha_{p-N}>\alpha '_{p-N}$ oppure $\alpha_{p-N}<\alpha '_{p-N}$, per poter concludere rispettivamente che $r_n>r'_n$ oppure $r_n<r'_n$, per ogni indice $n\geqN$.

Con queste cose posso solo dire che, se ad esempio $r_n>r'_n$ per ogni indice superiore a $N$, allora:

\(\displaystyle r_n'< r_n \leq x<r_n+q^{p-n} ,\; \forall n\geq N\)

il che comunque consente solo di scrivere:

\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n'\leq\lim_{n \to \infty}r_n=x \)

e non invece ciò che vorrei ottenere:

\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n' < \lim_{n \to \infty}r_n=x \).

Qualche spunto?
Grazie in anticipo.
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Re: Espressioni q-arie numeri reali

Messaggioda killing_buddha » 14/03/2018, 11:01

Non si può arguire che la rappresentazione $q$-esimale di $x$ di due numeri diversi è diversa a partire dall'algoritmo che la costruisce? https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integ ... esentation
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Re: Espressioni q-arie numeri reali

Messaggioda Ianero » 14/03/2018, 11:30

Ciao killing_buddha e grazie per la risposta.

killing_buddha ha scritto:Non si può arguire che la rappresentazione q-esimale di x di due numeri diversi è diversa a partire dall'algoritmo che la costruisce?


Non riesco a vedere come però. :?
L'algoritmo utilizzato è quello di iterare il principio di Archimede sulle diverse approssimazioni successive $r_n$ del numero reale positivo che si vuole raggiungere, $x$. Cioè applicarlo ogni volta al numero: \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \).
Tale principio dice che scelto un numero reale (nel mio caso proprio \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \) ) esiste un unico $\alpha_{p-n-1} \in \mathbb{Z}$ tale che:

\(\displaystyle \alpha_{p-n-1} \leq \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} < \alpha_{p-n-1} +1\).

Questo mica mi garantisce che se avessi scelto un altro \(\displaystyle x' \neq x \), avrei ottenuto un \(\displaystyle \alpha_{p-n-1}' \) differente?
Mi dice solo che fissato un $x$, questo $\alpha_{p-n-1}$ è unico, ma nel senso che non trovo un altro intero che mi verifica la disuguaglianza di sopra (Archimede) e non nel senso che a $x$ diversi corrispondono $\alpha_{p-n-1}$ diversi, o sbaglio?

Scusa se non capisco :?
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Re: Espressioni q-arie numeri reali

Messaggioda Ianero » 16/03/2018, 09:17

Ah ecco, forse ho capito.

Ho rielaborato in maniera un pò più formale la dimostrazione che utilizza principio di Archimede come algoritmo di costruzione. Formalmente voglio dimostrare che, fissato $q>1$:

\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) e inoltre \(\displaystyle \exists ! \alpha:\mathbb{N} \to \{0,1,...,\left \lceil q-1 \right \rceil\} \) tali che \(\displaystyle \bigg( q^p \leq x < q^{p+1} \bigg) \wedge \bigg( \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\bigg) \).

In altre parole qualunque $x$ positivo io prenda trovo sempre una unica successione di digits $\alpha (n)$ con certe restrizioni e un ordine $p$, intero, che mi permettono di comporre una successione di somme parziali $r_n$ che approssimino sempre meglio il valore $x$.

Proof:

Il fatto che \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) tale che \(\displaystyle q^p \leq x < q^{p+1} \) si dimostra banalmente per assurdo.

Siano: \(\displaystyle \mathcal{A}_1=\{k \in \mathbb{Z}|\frac{x}{q^p}<k\} \), ..., \(\displaystyle \mathcal{A}_n=\{k \in \mathbb{Z}|\frac{x-\sum_{m=1}^{n-1}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1)}{q^{p-(n-1)}}<k\} \), ...

Ognuno di tali insiemi è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$ non vuoto e limitato inferiormente $\Rightarrow$ ognuno di essi ammette minimo $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}$ si ha che \(\displaystyle \min \mathcal{A}_n -1 \leq \frac{x-\sum_{m=1}^{n-1}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1)}{q^{p-(n-1)}}<\min \mathcal{A}_n \) o equivalentemente che \(\displaystyle \sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \leq x< q^{p-(n-1)}+\sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \).
Sia allora \(\displaystyle \alpha:\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle \alpha (n) =\min \mathcal{A}_n -1 \), allora: \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \).

Resta solo da far vedere che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) si ha la restrizione \(\displaystyle 0 \leq \alpha (n) < q \).

Si può dimostrare utilizzando quanto appena dimostrato:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
r_{n-1} \leq x < r_{n-1} +q^{p-(n-1)}\\
r_{n} \leq x < r_{n} +q^{p-n}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0\leq \alpha (n+1)<q \).

Il caso $n=1$ è un caso particolare che si ottiene da queste condizioni:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
q^p \leq x < q^{p+1}\\
r_{0} \leq x < r_{0} +q^{p}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0<\alpha (1)<q \).

End proof.

Questo dovrebbe esaurire quello che volevo dimostrare in [1], poiché l'unicità della successione deriva dal fatto che il minimo di un insieme è unico.

Come corollario si ha inoltre (facilmente per assurdo) che la successione $\alpha (n)$ non può essere tale che \(\displaystyle \alpha (n) = \left \lceil q-1 \right \rceil \) per ogni indice superiore a un certo $N \in \mathbb{N}$.

Questo però sembra in contrasto con questo:

\(\displaystyle 0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R} \)

Come si concilia il corollario che vieta una situazione del genere, con questo "controesempio"?
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