I cerchi e il quadrato

[axpgn]

Dato un quadrato di lato unitario, il diametro del cerchio più grande che è possibile disegnare all'interno del quadrato senza che il cerchio "sbordi" fuori dal quadrato è pari a uno ($d=1$).
Se invece, all'interno del quadrato di lato unitario, disegniamo due cerchi identici senza che questi "sbordino" fuori dal quadrato né si sovrappongano tra loro, quale sarà il loro diametro massimo?
E se i cerchi fossero tre? O quattro? E così via fino a dieci cerchi?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Dato un quadrato di lato unitario, il diametro del cerchio più grande che è possibile disegnare all'interno del quadrato senza che il cerchio "sbordi" fuori dal quadrato è pari a uno ($d=1$).
Se invece, all'interno del quadrato di lato unitario, disegniamo due cerchi identici senza che questi "sbordino" fuori dal quadrato né si sovrappongano tra loro, quale sarà il loro diametro massimo?
E se i cerchi fossero tre? O quattro? E così via fino a dieci cerchi?

Mi limito a dire il risultato per numero di cerchi (di uguale diamtro) da 1 a 5 compresi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detto $d(n)$ il rapporto tra il diametro di ciascuno di n cerchi e il lato del quadrato:
$d(1) = 1$;
$d(2) = 2 - sqrt2$;
$d(3) = d(4) = 1/4$;
$d(5) = sqrt(2) - 1 =sqrt2/2 d(2)$.

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Da $n=6$ in su, la ricerca di $d(n)$ necessita della soluzione di qualche equazione trigonometrica ...

[axpgn]

Bravo! ... a me però $d(3)$ viene più grande ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

... a me però $d(3)$ viene più grande ...

Anche a me; ottengo
$d(3)=1/(1+cos15°)=1/(1+(sqrt6+sqrt2)/4)~=0.509$
Da $n=5$ in poi, ho dubbi sul modo migliore di disporre i cerchi e mi complimento con Erasmus per aver dato la soluzione nel primo di questi casi; direi però che non occorrono equazioni goniometriche per il caso $n=6$ (basta provare con le disposizioni che sembrano le migliori). Se poi la soluzione per $n=6$ si ha quando i centri dei cerchi formano un esagono regolare, allora $d(7)=d(6)$, col settimo cerchio in mezzo agli altri.

[Erasmus_First]

Bravo! ... a me però $d(3)$ viene più grande ...

Hai ragione!
Ho anche confuso il raggio col diametro.
[Dove ho scritto d(3) = d(4) = 1/4 bisognerebbe leggere il doppio, cioè d(3) = d(4) = 1/2. Però d(3) è sbagliato per difetto, perché d(3)è maggiore di d(4)].
Dell'errore mi ero accorto appena inviato.
Adesso ... faccio ammenda!
Bisogna far si che i tre cerchi si tocchino a due a due.
Due di essi risultano tangenti ad una stessa diagonale del quadrato e [rispettivamente] a due lati consecutivi, L'altro è tangente agli altri due lati.
Se non ho fatto male i conti viene;
$d(r) = 4/(4+2sqrt2+sqrt(2-sqrt3))$ =2· 0,27225459... ≈ 0,5445 > ,0,5 =$1/2$.
_______



P.S (h 15:15 d dom 108.03,2018)
Oops! Mi sa che c'è un altro "errore di sbaglo" nell'ultoma espressione (manca un 21 davanti al radicale doppio).
Ultima versioine dunque (semplificando subito per 2):
$d(3) = 2/(2+sqrt2+ sqrt(2-sart3)) = 0,508666190... ≈ 0,509$ (come già scritto da giammartia).
NB: $sin(15°) = sqrt((1-cos(30°)/2) = sqrt(2-sqrt3)/2$.
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P.S.1
Che casino che sto combinando!
Avevo rieditato per correggere dove c'è una radice quadrarta ... luuuunga con dentro l'uguale tra due espressioni.
Ma si vede che invece di "modifica" ho cliccato "cita" perché vedo ora che c'è un altro mio intervendo più sotto, uguale a questo con la correzione di quella maledetta radiice che copre una inrtera uguaglianza .
E Alex ... trova più divertente passare la domenica a "monitorare" le mie gaffe che andarsi aivertre altrimenti.
Beh: vorrà dire che ho fatto qualcosa di utile al mio prossimo (di domenica ... che è il giorno del Signore!).
Ciao Alex. Ciao Giammaria
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P.S.2
visto che son qua metto quel che credo essere il d(6).
$d(6) = sqrt13/(sqrt13+6) = 0,3753612...$.
Si capirebbe bene come ho fatto a trovare questo valore con una figura.
Ma mi si è rotto il vecchio computer (Mac G5, che andava da dio per la grafica)... e con 'sto maledetto Mac Book Pro non ho mai capito come si fa a cpmporre figure geometriche. [Ed è tutto cambiato – in peggio! – anche come semplice editor di testo]. Allora, cerco di dire tutto a parole.

Immaginiamo prima 5 cerchi nel quadrato (orientato con due lati verticali e due orizzontali): un cerchio in centro e gli altri quattro uno per angolo.
Ci sono due terne di cerchi per diagonale che siu imntersecano inel cerchio centrale.
Adesso diamo una strizzatina al quadrato in modo che diventi un rettangolo (con i lati orizzontali più corti e quelli verticali più lunghi) sua senza però perdere la caratteristica "topologica|" dei quattro cerchi uno per angolo e il quinto cerchio in centrio; e quindi ancora due terme di cerchi (una per diagonale) che si intersecano nel cerchio ceentrle. Adesso calibriamo la deformazione in modo che, schiaffato un sesto cerchio in un fianco (per traverso ad un lato verticale e tangnte ai due cerchitangenti a qual lato), la tangente a questo sesto solo cerchio parallela ai lati lunghi del rettangolo disti dal più lontano di essi come distano tra loro di due lati orizzontali (quelli corti) del rettangolo.
Allora otteniamo il "quadrato di ingombro" in cui ci sono ancora due terne con i centri allineati e si intersecano nel cerchio dimezzo di ciascuna terna; ma la retta per tre i centri invece di pendere 45° – come era nel caso di d(5) – pende sulla direzione verticale di quello che era un lato lungo [del rettangolo] un certro angolo φ minore di 45°.
Nella direzione orizzontale abbiamo allora:
$d/2 + 3d·sin(φ) + d/2 = 1$ ⇔ $d = 1/(1 + 3sin(φ))$. [*]
Nella direzione verticale abbiamo invece
$d/2 + 2d·cos(φ) + d/2 = 1$ ⇔ $d = 1/(1 + 2cos(φ))$. [**]
Dal confronto delle due equazioni b][*][/b] e b][** ][/b] viene
$3·sin(φ) =2·cos(φ)$
da cui, infine $cos(φ) = 3/sqrt13$ e $sin(φ) = 2/sqrt13)$
In cnclusione
$d =1/(1 + 3sin(φ))= 1/(1 + 2cos(φ)) = 1/(1+6/sqrt13) = sqrt13/(sqrt13 + 6) ≈ 0,37536$.

A ri-ciao a tutti
_______

[axpgn]

Sì, hai fatto male i conti ... ... il valore corretto è quello di giammaria

Però $d(6)!=d(7)$ ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Bravo! ... a me però $d(3)$ viene più grande ...

Hai ragione!
Ho anche confuso il raggio col diametro.
[Dove ho scritto d(3) = d(4) = 1/4 bisognerebbe leggere il doppio, cioè d(3) = d(4) = 1/2. Però d(3) è sbagliato per difetto, perché d(3)è maggiore di d(4)].
Dell'errore mi ero accorto appena inviato.
Adesso ... faccio ammenda!
Bisogna far si che i tre cerchi si tocchino a due a due.
Due di essi risultano tangenti ad una stessa diagonale del quadrato e [rispettivamente] a due lati consecutivi, L'altro è tangente agli altri due lati.
Se non ho fatto male i conti viene;
$d(r) = 4/(4+2sqrt2+sqrt(2-sqrt3))$ =2· 0,27225459... ≈ 0,5445 > ,0,5 =$1/2$.
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P.S (h 15:15 d dom 108.03,2018)
Oops! Mi sa che c'è un altro "errore di sbaglo" nell'ultoma espressione (manca un 2 davanti al radicale doppio).
Ultima versioine dunque (semplificando subito per 2):
$d(3) = 2/(2+sqrt2+ sqrt(2-sart3)) = 0,508666190... ≈ 0,509$ (come già scritto da giammartia).
NB: $sin(15°) = sqrt((1-cos(30°))/2) = sqrt(2-sqrt3)/2$.

Come si vede, questo messaggio è un duplicato del mio precedente messaggio, però con la formula che là avevo scritto vistosamente in modo sbagliato riscritta qui in modo corretto.
Partito per correggere l'errore di "sintassi" del codice di una delle ultime formule, si vede che invece di clicare "modifica" ho cliccato "cita" ... ed ho apportato qui la correzione convinto di correggere il post in cui stava l'errore.

Poi là sono intervenuto ancora aggiungendo qualcosa; in partticolare ho aggiunto in calce il "mio" d(6) ed il modo con cui l'ho trovato.

Credo che ormai, casino più casino meno, la differenza sia trascurabiule! e quindi non è male se ri-scrio anche qui il "mio" d(6) [che poi Alex dirà se è giusto o no].

[...]
$d(6) = sqrt13/(sqrt13+6) = 0,3753612...$.

Per sapere come ho fatto a trovare questo valore andare nel messaggio da cui viene la citazione per leggervi (in fondo) la spiegazione di come ho fatto a trovare questo valore di d(6).

A ri-ciao a tutti!
_______

[giammaria]

NB: $sin(15°) = sqrt((1-cos(30°))/2) = sqrt(2-sqrt3)/2$.

Mi sembra più comodo calcolare
$sin 15°=sin(45°-30°)=...$
Se però preferisci la bisezione, spezza il radicale doppio. Si ha $2^2-(sqrt3)^2=1^2$, quindi
$sqrt(2-sqrt3)/2=1/2(sqrt((2+1)/2)-sqrt((2-1)/2))=1/2(sqrt3/sqrt2-sqrt1/sqrt2)=1/2(sqrt6/2-sqrt2/2)=(sqrt6-sqrt2)/4$

Per qualche motivo, la formula dei radicali doppi viene spesso ignorata. A me piace molto, anche perché permette di calcolare rapidamente la radice quadrata di un numero complesso.

[nino_]

Da 6 cerchi in su... li ha già calcolati qualcun altro...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

https://www2.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/

[axpgn]

Vabbè, così non vale .. tutto quello che passa da qui è già stato "trovato" da qualcun altro ...

Penso che di inedito ci sia ben poco ... sarebbe bellissimo se qualcuno dimostrasse qualcosa di "nuovo" ...

Cordialmente, Alex