Dubbio teorico su interpretazione della derivata seconda temporale

[Shackle]

@ maltos

Vorrei aggiungere qualcosa alle spiegazioni già date. Certamente sai che l'accelerazione di gravità , in un certo punto della Terra, è costante , uguale per tutti i corpi, e vale circa $10 m/s^2$ ( per la precisione , 9.81 m/s^2 , ma ora non mi serve essere preciso) . Che vuol dire ? Fai cadere un oggetto da una certa altezza , da fermo . Supponi di poter misurare le velocità istantanee in qualsiasi istante . Dopo un secondo , la velocità istantanea è diventata $10 m/s$ ; dopo 2 secondi , è $20 m/s$ ; dopo tre secondi , è $30 m/s$ ; e cosí via .
Ma $1s$ é un intervallo di tempo troppo grande , il corpo si é spostato nel frattempo dal punto zero al punto distante $5m$ da questo. Quindi , la prima velocità istantanea che misuri, cioé i $10 m/s$ , la misuri a distanza di ben $5m$ dal punto di partenza . Dovresti diminuire l'intervallo di tempo, per fare valutazioni più precise.

Allora, prendi un certo istante $t_0$ prefissato, nel quale misuri la velocità istantanea; poi prendi un intervallo finito di tempo $Deltat$ , e misura la velocità nell'istante $t_0+Deltat$ . Fai la differenza $ v(t_0+Deltat) - v(t_0) $ , e dividila per l'intervallo finito $Deltat $ anzidetto . Questo rapporto :

$(v(t_0+Deltat) - v(t_0))/(Deltat) $

si chiama , come sai dall'analisi , rapporto incrementale della velocità , o meglio della funzione $v(t)$, nell'istante $t_0$, ed è manifestamente un rapporto tra la variazione di velocità nei due istanti prefissati : $t_0$ e $(t_0 + Deltat)$ e il corrispondente $Deltat$ . Rappresenta quindi una "variazione media " di velocità in quell'intervallo .

Adesso, prendi $Deltat$ sempre più piccolo . Matematicamente ti direi di calcolare il limite di quel rapporto incrementale , facendo tendere $Deltat \rightarrow 0 $ : ottieni un "valore istantaneo " della variazione di velocità nel tempo, determinato nell' istante $t_0$ . Ma io ti dico di fare delle misure di velocitá a istanti di tempo sempre più ravvicinati , quindi è solo un procedimento fisico.

Ci puoi scommettere, questo limite è uguale a $g = 10 m/s^2$ , e non ti sei spostato di un centimetro .

[maltos]

Ringrazio molto anche te per la spiegazione.
Diciamo che il mio problema è più intuitivo che nella formalità. Insomma, quello che mi stona è che non capisco come un rapporto incrementale frutto di una variazione su un tempo $(s_2-s_1)/(t_2-t_1)$ al suo limite che mi da v possa nello stesso istante dt nel caso successivo ($d^2(s)/dt^2$) avere una variazione, scrivo nel finito solo per rendere più facile capire il dubbio:
${(s_2-s_1)/(t_2-t_1)}/(t_2-t_1)$
Nel finito non funzionerebbe perché la quantità a numeratore sarebbe costante. Poi a livello matematico lo vedo bene, è a livello di intuizione con ds dt e dv come "pezzettini" che non lo vedo.

[Shackle]

Nel finito non funzionerebbe perché la quantità a numeratore sarebbe costante

Funziona quando questo finito è molto piccolo , infinitesimo (speriamo che i matematici non mi mangino ... ) , perchè nell'infinitesimo il rapporto lo puoi considerare costante. È proprio per questo che si considerano i vari dt , ds , dv , dA ....ecc

[maltos]

Okok quindi in sostanza è come dicevamo in precedenza,è possibile negli infinitesimi
Vi ringrazio perché non sapevo proprio a chi chiedere per avere conferme.
Fatico spesso a trasmettere il formalismo imparato nell'analisichetta liceale (la chiamo così perché credo sia la punta di un iceberg universitario) alla meccanica del mazzoldi, non so se sia un ottimo libro o meno, però un mio amico di ingegneria (più grande di me di un anno) me l'ha prestato proprio in vista della mia futura scelta universitaria e leggendolo ho trovato più complesso capire questi concetti che altre formule.

Grazie ragazzi

[professorkappa]

Il mencuccini silvestrini aveva la bella abitudine di introdurre la matematica alla base dei concetti che avrebbe spiegato nel paragrafo successivo. Ci ho studiato Analisi I su quel testo di Fisica......

[maltos]

Ho trovato questo link generosamente offerto dall' unina, sarebbe lui?

http://unina.stidue.net/Fisica%20Genera ... ca%201.pdf

[axpgn]

@pk
Non si possono mettere due libri in uno come hanno fatto loro ... ... (è una battuta ma fino a un certo punto ... )

[Shackle]

Alex, non sono due libri in uno. È il primo volume del MS , che comprende Meccanica e Termodinamica. Si vede che non lo conosci. Ottimo libro , maltos!

[axpgn]

Primo: era una battuta (e l'ho anche scritto) ... e secondo: quel libro di Fisica è veramente "inframezzato" da un libro di Matematica (e questo non è detto che sia il metodo migliore per tutti )

[Shackle]

Trovo invece che i richiami d matematica siano molto utili, specie per quegli studenti che magari hanno bisogno sul momento di nozioni non ancora apprese nei corsi di analisi , o negli studi delle superiori .

Punti di vista...