Salve, ho difficoltà a capire perché la seguente funzione è integrabile su $[0, 2]$
\( f(x) = \begin{cases} 1 \text { per } x = 1 \\ 0 \text { altrove} \end{cases} \)
Io so che una funzione è integrabile sse $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$ per ogni $\epsilon > 0 $, dove:
$P$ è una "partizione" qualsiasi di $[0, 2]$
$U$ è la somma delle aree per "eccesso" (upper)
$L$ è la somme delle aree per "difetto" (lower).
Uso la notazione che ho trovato sullo spivak, non so quale sia quella standard in italiano.
La partizione $P$ è definita, arbitrariamente, come $P = {t_0 = 0, . . . , t_n = 2}$ con $t_{j-1} < 1 < t_j$.
Dalla definizione di $L$ (le aree per "difetto") ho che:
$L(f, P) = sum_{i=1}^{j-1} m_i(t_{i-1}-t_i) + m_j(t_j-t_{j-1}) + sum_{i=j+1}^{n} m_i(t_i - t_{i-1}) = 0$ sempre.
($m_i$ è il minimo, o meglio il punto inferiore, della funzione nell'intervallo $[i-1, i]$)
Se faccio la stessa cosa con $U$ (upper), ovvero le aree per eccesso, ottengo che
$U(f, P) = M_j(t_j-t_{j-1})$
dove $M$ è l'estremo superiore nell'intervallo $[j-1, j]$. Ovviamente $M = 1$, quindi la condizione affinché $f$ sia integrabile è:
$U(f, P)-L(f, P) = t_j-t_{j-1} - 0 < \epsilon$
Magari è semplicemente un problema mio (sto studiano per diletto questo cose e non sono molto pratico con la logica matematica), ma se la disequazione sopra scritta deve essere vera per ogni $\epsilon > 0$, allora ciò implica che $t_j = t_{j-1}$, ma questo è in contrasto con la definizione di $P$ che avevo dato all'inizio: $t_{j-1} < 1 < t_j$.
Qualcuno mi può dare una mano a capire? Grazie in anticipo!