Convergenza uniforme di questa serie di funzioni

[zariski]

Devo studiare la convergenza puntuale e uniforme di questa serie: $\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)$ dove $f_k(x)=(-1)^k \frac{1}{1+kx^2}$ e $x>=0$.
Studio prima la convergenza puntuale; se $x=0$ la serie e' oscillante, altrimenti la serie converge per il criterio di Leibniz, dunque la serie converge puntualmente su $(0, +\infty)$.
Ora passo alla convergenza uniforme; se la serie converge uniformemente su $(\epsilon, +\infty)$, essendo continue le $f_k$ deve essere continua anche la funzione a cui converge la serie, quindi ha senso studiare la convergenza uniforme su intervalli del tipo $[\epsilon, \infty)$ (o chiusi contenuti, anche se in realta' non vedo perche' debbano esserci problemi all'infinito).
Ho verificato che la serie non converge totalmente, quindi non posso applicare il criterio di Weierstrass.
Inoltre anche la condizione necessaria $||f_k(x)||_{\infty, [\epsilon, =\infty]} \to 0$ per $k \to \infty$ non e' mai infranta.¹

Come posso proseguire? Grazie a tutti (mi basta un suggerimento)

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Note

1. Intendo la norma del sup ↑

[otta96]

Il criterio di Weierstrass non lo devi applicare per forza su tutto il dominio.

[dissonance]

@otta: Purtroppo quel criterio non serve a niente qui. La serie non converge assolutamente. Bisogna invece mettere mano al criterio di Leibniz e vedere con quali ipotesi su \(x\) esso fornisce la convergenza uniforme.

@zariski: Il criterio di Leibniz viene con una stima dell'errore. Hai provato ad usarla?

[zariski]

Il criterio di Leibniz viene con una stima dell'errore. Hai provato ad usarla?

Ah giusto!
Ditemi se ha senso: chiamo $s_k(x)=\sum_{i=1}^{k} f_k(x)$ le somme parziali e scrivo $f_k(x)=(-1)^k a_k(x)$. So che la serie converge uniformemente a $s(x)$ se l'estremo superiore di $|s_k(x)-s(x)|$ (al variare di $x \in [\epsilon, +\infty)$) tende a $0$ per $k \to \infty$.
Leibniz mi dice pero' che $|s_k(x)-s(x)| <= a_{k+1}=1/{1+kx^2} \to 0$ per $k \to \infty \forall x \in [\epsilon, +\infty)$
Dunque la serie converge uniformemente su $[\epsilon, +\infty) \forall \epsilon > 0$

Grazie mille a entrambi.

[otta96]

Ti manca da capire se c'è convergenza uniforme anche su $(0,+\infty)$.

[zariski]

Ero convinto di averlo scritto nel primo messaggio:
$||f_k(x)||_{\infty, (0, +\infty)} >= \lim_{k \to \infty} 1/{1+k 1/\(sqrt{k})^2} = \lim_{k\to\infty} 1/{1+1} = 1/2 \ne 0$
dove ho posto semplicemente $x=1//\sqrt(k)$. Cosi' vedo che in $0$ le cose vanno male, ossia non c'e' convergenza uniforme.

OT: mathjax su questo sito ha qualcosa che non va, non riesco a inserire i sup/inf, con conseguente appesantimento inutile di quello che ho ho scritto. C'e' qualche modo per inserirli che mi sfugge?

[pilloeffe]

Ciao zariski,

C'e' qualche modo per inserirli che mi sfugge?

Il risultato non è meraviglioso, ma come workaround funziona:
$ s u p $

Codice:

$ s u p $

oppure
$ text{sup} $

Codice:

$ text{sup} $

$ i n f $

Codice:

$ i n f $

oppure
$ text{inf} $

Codice:

$ text{inf} $

Altrimenti col LaTex:
\( \displaystyle \sup \)

Codice:

[tex]\sup [/tex]

\( \displaystyle \inf \)

Codice:

[tex]\inf [/tex]

[zariski]

Il risultato non è meraviglioso, ma come workaround funziona

Meglio che niente, grazie mille.
Comunque e' strano che non funzioni, vedo che il forum usa l'ultima versione di mathjax da una cdn, quindi il motivo non e' una versione vecchia (come pensavo), mah.