Dubbio su determinazione posizione in moto rettilineo uniformemente acc.

[MATTAIUS]

Salve a tutti è la mia prima domanda qui perciò spero di essere quanto più chiaro possibile. Allora ci troviamo in cinematica in un moto uniformemente accelerato e dopo aver integrato l'accelerazione per ottenere la velocità $ a= (dv)/(dt) $ $ int_(v0)^(v) dv = int_(t0)^(t) a dt $ poi $ v(t) - v(0)= int_(t0)^(t) a dt $ poi essendo la a costante $ v(t)= v(0) + a(t-t(0)) $ ora sostituiamo la velocità cosi scritta nella equazione della posizione $ x(t)= x(0) + int_(t(0))^(t) v(t) dt $ ottenendo $ x(t)= x(0) + int_(t(0))^(t) v(0) + a(t-t(0)) dt $ ora svolgendo gli integrali otteniamo $ x(t)= x(0) + v(0)(t-t(0))+ 1/2a(t-t(0))^2 $ . La mia domanda è come mai quell ' $ 1/2 $ ? Ovvero come viene trattato il $ (t-t(0)) $ che rimane nell'integrale dopo aver cacciato da esso "a" poiché costante? in poche parole come si svolge l'integrale $ int_(t(0))^(t) a(t-t(0)) dt $ ? grazie

[dRic]

Conosci gli integrali? Sai fare l'integrale di $x$? Poi, per comodità, metti $t_0 = 0$ che diventa tutto più chiaro senza perdere di generalità

[MATTAIUS]

Quindi t-t(0) viene trattato come x? e perchè?

[dRic]

Perché $t_0$ è una costante.

In maniera "rigorosa":

poni $z = (t-t_0)$
quindi (essendo $t_0$ una costante!) $dz = d(t-t_0) = dt$.

Per cui: $int a(t-t_0) dt = int azdz = 1/2az^2 = 1/2a(t-t_0)^2$

PS. Ho omesso gli estremi di integrazione per fare prima, comunque puoi anche esplicitare il prodotto $a(t-t_0) = at - at_0$ e fare i due integrali separati (attento agli estremi di integrazione però!) e vedi che ti viene lo stesso risultato senza bisogno di trucchetti come quello che ho usato

[MATTAIUS]

Grazie mille