Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda gueridon » 22/03/2018, 20:06

So che probabilmente mi odierete, ma sinceramente mi sento perso perché non so risolvere le equazioni differenziali.
Purtroppo le tratteremo sono il prossimo anno (non so perché la nostra analisi 2 preveda funzioni in più variabili prima delle differenziali, ma tant'è) e quindi devo vedere sempre la versione addolcita sul come ricavarla ad esempio per l'oscillatore armonico ecc.
Sto cercando di annientare la mia incapacità di fare 'sti problemi stidiando 12 ore al giorno, ma mi sento sempre come brancolante al buio.
E ve lo dico non per farmi commiserare ma perché spero in qualche consiglio, in calce alla risposta, dei più navigati.

Ad ogni modo, tornando al problema specifico:

Si richiede di risolverlo espressamente senza utilizzo della conservazione dell'energia.
Immagine

io ho impostato una soluzione del genere, un sistema dato da:

$m(d^2x)/dt^2=-kx+M_d*N$
$m(d^2y)/dt^2=-ky-mg+N$
con x,y sistema cartesiano canonico.

Da cui ricavo N dalla seconda:
$N=kd+mg$ poiché ho pensato la componente su y è d stessa e la accelerazione è zero perché sul binario vincolato,
e inserisco nella prima ottenendo $m(d^2x)/dt^2=-kx+M_d(kd+mg)$
e qui il buio per circa 40 minuti, alché ho deciso di sbirciare la soluzione e fa qualcosa che non riesco a comprendere:

Fin qui era giusto però ora impone $-kx_0=-M_d(kd+mg)$ (primo dubbio non capisco come esca) e poi asserisce di fare un cambio variabile e scrive:
$z=(x-x_0)$ (secondo dubbio, perché si può farematematicamente e uscirà $(d^2z)$?) $(d^2z)/dt^2=(d^2x)/dt^2$ cioè: $m(d^2z)/dt^2=-kz$ che è una equazione differenziale nota.

Io però quel passaggio a monte e quel cambio di variabile non riesco proprio a capirli.

Scusate le mie domande sciocche :(
Ultima modifica di gueridon il 23/03/2018, 08:44, modificato 3 volte in totale.
gueridon
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda dRic » 22/03/2018, 22:19

gueridon ha scritto:$m(d^2x)/dt^2=-kx*M_d*N$


Per caso volevi scrivere

$m(d^2x)/dt^2=-kx + M_d*N$

?

Perché se no non ha molto senso...
dRic
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda gueridon » 23/03/2018, 08:32

Certamente, ho sbagliato nella digitazione, grazie ecorreggo :)
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda professorkappa » 23/03/2018, 09:02

Premesso che manca il segno, come dice Dric, se non hai fatto le equazioni differenziali, ti possiamo solo dare un aiuto pratico.

Quando hai a che fare con molle, l'equazione differenziale risolutrice si presenta sempre del tipo

$ddotx+k/mx=0$

La caratteristica principale e' il segno +. Se risolvi il problema e ti viene del tipo $ddotx-k/mx=0$ hai fatto qualche errore di segno (il segno "meno" comunque puo' apparire in altri tipi di problemi).

Questa equazione e' facilissima da risolvere: la soluzione e' sempre $x(t)=Acos(omegat+phi)$ dove $A,phi$ sono costanti che si determinano a seconda della condizioni iniziali del problema (specificatamente dove si trova il corpo all'istante iniziale e che velocita' ha in quell'istante). La $omega$ e' semplicemente $sqrt(k/m)$ (un altro modo di scrivere quell'equazione e' infatti $ddotx+omega^2x=0$.

A volte, pero, a seconda del sistema di forze in gioco, puo' apparire un altro termine, normalmente costante, ma nei casi piu' avanzati anche dipendente dal tempo, che ti sconcia il giochino e l'equazione diventa

$ddotx+k/mx+C=0$

Il segno di C puo' essere indifferentemente + o -

Come si risolve questa equazione? In 3 modi

1) metodo della memoria dello stundente: La soluzione e' data sempre dalla somma della soluzione dell'equazione semplificata ($x(t)=Acos(omegat+phi)$ e di un termine $-C/omega^2$ (il segno di C si inverte rispetto a quello dell'eq. diff.)

Quindi la soluzione di questo tipo di equazioni e' sempre: $x(t)=Acos(omegat+phi)-C/omega^2$

2) metodo canonico. Lo studierai quando studierai le eq. differenziali e non te lo spiego qui

3) Sostituzione del gruppo $k/mx+C$ con una variabile ausiliaria $z$ per riconduri alla eq. diff. base (l'eq. differenziale base si chiama, per inciso, equazione omogenea, perche non ha termini costanti). Lo faccio in maniera leggermente diversa dal testo

In pratica raccolgo la C e l'eq. diff. diventa $ddotx+k/m(x+m/kC)=0$

Ora chiamo $z=x+m/kC$ (*)
Derivo 2 volte e ottengo $ddotz=ddotx$

Sostiuisco nell'equazione e' ottengo

$ddotz+k/mz=0$ che e' una equazione omogenea senza termini costanti a rovinarci il giochino.

Sara' allora $z=Acos(omegat+phi)$ ovvero da (*)

$x+m/kC=Acos(omegat+phi)$ e quindi

$x=Acos(omegat+phi)-C/omega^2$

Ti conviene fare tanti esercizi su questo in modo da poter fare i calcoi ad occhi chiusi.

Puo' darsi che con il copia incolla dell'editor mi sia scappato qualcosa, ma sicuramente qualcuno lo notera' e correggera' (oppure potresti farlo tu e vedere se ti tornano, e' anche questo un esercizio)
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda gueridon » 23/03/2018, 11:04

Ora mi è chiaro :D devo solo fare un po' di pratica.
Pur non conoscendo l'argomento mi pare tutto giusto seguendo una coerenza logica.

Forse solo qui
professorkappa ha scritto:In pratica raccolgo la C e l'eq. diff. diventa $ddotx+k/m(x+m/kC)=0$

si è raccolto k/m più che C, se non erro, ma è una stupidaggine come correzione :-D

Grazie mille, se mi spiegassero così invece di saltare 20 passaggi alla lavagna :(. Capisco siano preparatissimi, ma io sono stupido e per me certe cose non sono scontate..
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda professorkappa » 23/03/2018, 16:18

gueridon ha scritto:si è raccolto k/m più che C, se non erro,


Si, un piccolo lapsus, ovviamente. Sono perdonato? :-)
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Re: Cinematica del treno giocattolo

Messaggioda gueridon » 23/03/2018, 17:41

professorkappa ha scritto:Sono perdonato? :-)

Oggi mi sento magnanimo :P

Ti ringrazio moltissimo :)
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