Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda ivelios » 22/03/2018, 18:21

Seguendo tutta la dimostrazione fino alla fine(compresi integrali e tutto) l'unica mio dubbio è questo:

Immagine

Stiamo parlando di una derivata composta se non erro,ma non ben compreso come si sviluppino tutti i punti della prima riga,
so che l'accelerazione si sviluppa così,ma ancora non capisco come si sviluppino tutte le funzioni al suo interno.
$ a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} $

Grazie in anticipo,per le pazienti risposte.
ivelios
New Member
New Member
 
Messaggio: 21 di 56
Iscritto il: 17/12/2016, 15:49

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda mathbells » 22/03/2018, 19:23

ivelios ha scritto:....ma ancora non capisco come si sviluppino tutte le funzioni al suo interno.
$ a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} $


Praticamente ti sei risposto da solo, non capisco cosa non ti sia chiaro. E' appunto la derivata rispetto al tempo della funzione composta

\(\displaystyle v(x(t)) \)

Naturalmente la forma della funzione velocità vista come funzione della posizione \(\displaystyle v(x) \) non è la stessa della funzione velocità vista come funzione del tempo \(\displaystyle v(t) \) anche se per semplicità si usa sempre il simbolo \(\displaystyle v \). Per essere rigorosi dal punto di vista matematico si dovrebbero usare simboli diversi...ma tra fisici ci si intende :-D
Ti faccio l'esempio del moto rettilineo uniformemente accelerato. Consideriamo per semplicità un corpo che parta da fermo. Le leggi orarie sono \(\displaystyle x(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2 \) e \(\displaystyle v(t)=at \). Da queste ricavi \(\displaystyle t(x)=\sqrt{\frac{2}{a}(x-x_0)} \) e quindi \(\displaystyle v(x)=\sqrt{2a(x-x_0)} \).

Qui si vede appunto che la forma matematica della funzione \(\displaystyle v(t) \) (polinomio di primo grado) è diversa dalla funzione \(\displaystyle v(x) \) (funzione irrazionale) quindi a rigore è errato usare lo stesso simbolo v.

Passando ai calcoli, se ora calcoli \(\displaystyle \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} \) e sostituisci la \(\displaystyle t(x) \) di sopra, trovi proprio l'accelerazione.
Teoria della Pizza: (F=farina; A=acqua; L=lievito; S=sale)
\(\displaystyle F=p\frac{\pi}{4}nd^2h\,\,;\quad A=\frac{8}{11}F\,\,;\quad L=\frac{1}{55}F\,\,;\quad S=\frac{1}{40}F\)
p=0,224 $g$/$cm^3$ = costante universale della pizza; n=numero di pizze; d=diametro in cm; h=spessore in cm.
mathbells
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1325 di 2924
Iscritto il: 01/11/2012, 17:42
Località: San Benedetto del Tronto

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda ivelios » 23/03/2018, 00:45

Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.
ivelios
New Member
New Member
 
Messaggio: 22 di 56
Iscritto il: 17/12/2016, 15:49

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda Fabbioo » 23/03/2018, 09:09

Ti consiglio di leggere questo articolo:
http://www.youmath.it/lezioni/fisica/di ... etica.html

Personalmente lo trovo ben fatto. :smt023
Fabbioo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 139 di 346
Iscritto il: 02/11/2017, 14:07

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda professorkappa » 23/03/2018, 09:56

ivelios ha scritto:Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.


Ma c'e' scritto sopra: la derivata di ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]$
Te lo ha spiegato Mathbells e il testo stesso

Altro esempio:

$v=3x^2+x$
$x=4t+5$

$[dv]/[dx]=6x+1$

$[dx]/[dt]=4$

allora ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]=4(6x+1)=4(24t+31)$
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
professorkappa
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3213 di 8964
Iscritto il: 05/10/2014, 06:41

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda Vulplasir » 24/03/2018, 14:14

Non mi piace mica tanto questa dimostrazione...nel teorema dell'energia cinetica non si fa nessuna ipotesi su quali variabili dipendono la forza e la velocità...la velocità è incognita, non sappiamo da quali variabili dipende. Il teorema fatto per bene dice solo che:

$W=(dT)/(dt)$

Ossia che la potenza della forza è pari alla variazione temporale dell'energia cinetica, niente di più, l'integrazione di quell'uguaglianza non è sempre possibile e dipende da quali variabili dipende la forza F.
Avatar utente
Vulplasir
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4449 di 10954
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze

Re: Dubbio dimostrazione teorema energia cinetica

Messaggioda ivelios » 25/03/2018, 23:24

professorkappa ha scritto:
ivelios ha scritto:Non so come si sviluppi la derivata di tale funzione composta (V(x(t)), purtroppo ho sempre dei dubbi banali quando faccio qualcosa di nuovo.


Ma c'e' scritto sopra: la derivata di ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]$
Te lo ha spiegato Mathbells e il testo stesso

Altro esempio:

$v=3x^2+x$
$x=4t+5$

$[dv]/[dx]=6x+1$

$[dx]/[dt]=4$

allora ${dv(x(t))}/[dt]=[dv]/[dx][dx]/[dt]=4(6x+1)=4(24t+31)$


Scusate mi sono espresso male,ho capito tutto il ragionamento che c'è dietro :D.
Mi manca solo questo piccolo tassello:
il perché questo:$ {dv(x(t))}/[dt] $
Diventi questo:$ [dv]/[dx][dx]/[dt] $
nel rigoroso concetto matematico ,non fisico.

Grazie per la pazienza :-)
ivelios
New Member
New Member
 
Messaggio: 23 di 56
Iscritto il: 17/12/2016, 15:49


Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google Adsense [Bot] e 1 ospite