ivelios ha scritto:....ma ancora non capisco come si sviluppino tutte le funzioni al suo interno.
$ a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} $
Praticamente ti sei risposto da solo, non capisco cosa non ti sia chiaro. E' appunto la derivata rispetto al tempo della funzione composta
\(\displaystyle v(x(t)) \)
Naturalmente la forma della funzione velocità vista come funzione della posizione \(\displaystyle v(x) \) non è la stessa della funzione velocità vista come funzione del tempo \(\displaystyle v(t) \) anche se per semplicità si usa sempre il simbolo \(\displaystyle v \). Per essere rigorosi dal punto di vista matematico si dovrebbero usare simboli diversi...ma tra fisici ci si intende
Ti faccio l'esempio del moto rettilineo uniformemente accelerato. Consideriamo per semplicità un corpo che parta da fermo. Le leggi orarie sono \(\displaystyle x(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2 \) e \(\displaystyle v(t)=at \). Da queste ricavi \(\displaystyle t(x)=\sqrt{\frac{2}{a}(x-x_0)} \) e quindi \(\displaystyle v(x)=\sqrt{2a(x-x_0)} \).
Qui si vede appunto che la forma matematica della funzione \(\displaystyle v(t) \) (polinomio di primo grado) è diversa dalla funzione \(\displaystyle v(x) \) (funzione irrazionale) quindi a rigore è errato usare lo stesso simbolo v.
Passando ai calcoli, se ora calcoli \(\displaystyle \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} \) e sostituisci la \(\displaystyle t(x) \) di sopra, trovi proprio l'accelerazione.