Equazioni secondo grado e delta

[AnalisiZero]

Ciao,

Perché quando il delta di un' equazione di secondo grado è nullo si dice che l'equazione ha due soluzioni complesse coincidenti, anziché dire che la soluzione è una? Forse per giustificare il teorema fondamentale dell'algebra? O altri motivi?

Grazie.

[axpgn]

Direi l'inverso: è il teorema fondamentale dell'algebra che giustifica quanto detto sulle soluzioni dell'equazione di secondo grado

[AnalisiZero]

Quindi il numero di soluzioni si pone uguale a 2 anche se sono sempre uguali (per $Delta=0$),a causa del t.f.dell'algebra?

[axpgn]

Direi di sì

[AnalisiZero]

Grazie

[Fioravante Patrone]

L'equazione $x^2 = 0$ quante soluzioni ha? Una e solo una, ovvero $0$. Sia che immaginiamo di essere in $RR$ che in $CC$ (e anche da altre parti). $0$ è l'unico numero reale (o complesso) che risolve l'equazione, E di $0$ ce n'è uno solo, come di $44$ ce n'è uno solo.

Cosa vuol dire "due radici coincidenti"? Che l'insieme delle soluzioni contiene due elementi... coincidenti? Sarà meglio di no, se non vogliamo buttare a mare tutta l'insiemistica imparata (?) fin dalle elementari.

Cosa significa allora "due radici coincidenti"? E' una locuzione che si usa per ricordare che il polinomio $x^2$ non solo è divisibile per $x$, ma dopo fatta la divisione quello che ci ritroviamo tra i piedi è ancora (di nuovo!) divisibile per $x$. Insomma, ha a che fare con la fattorizzazione del polinomio(*). Come dire che 25 ha "due volte" il fattore primo 5.

Perché si usa questa locuzione? Boh, non ne so la genesi. Ma mica è l'unico caso in cui in matematica si usano espressioni "improprie". Per esempio, in TdG si scrive $v(123)$ invece di $v({1,2,3})$ (e qui il perché è evidente: lo si fa perché si fa prima, tanto si capisce benissimo cosa si vuol dire)


(*) cosa che si ripercuote anche a livello di "analisi matematica di base": $f(x)=x^2$ non solo si annulla in $0$, ma si annulla anche la sua derivata prima.

[AnalisiZero]

Grazie.

[@melia]

Io vedo il problema soprattutto dal punto di vista della geometria analitica. In un sistema tra due curve algebriche non è la stessa cosa avere una soluzione singola o doppia o, addirittura, tripla. E questo ha anche un significato analitico più forte. Pensa di approssimare una funzione, nell'intorno di un punto, con una retta passante per il punto. Una intersezione di primo grado non è una gran buona approssimazione, una di secondo va già meglio, se è possibile una di terzo ancora di più.

[Fioravante Patrone]

Io vedo il problema soprattutto dal punto di vista della geometria analitica. In un sistema tra due curve algebriche non è la stessa cosa avere una soluzione singola o doppia o, addirittura, tripla. E questo ha anche un significato analitico più forte. Pensa di approssimare una funzione, nell'intorno di un punto, con una retta passante per il punto. Una intersezione di primo grado non è una gran buona approssimazione, una di secondo va già meglio, se è possibile una di terzo ancora di più.

Certo, anche qui è opportuno tenere conto della molteplicità delle radici (rimanendo in campo algebrico).

Forse è proprio per questa esigenza diffusa che la locuzione "due radici coincidenti", pur se formalmente scorretta, rimane in circolazione. Per quel che mi riguarda, non mi scandalizzo, non sono integralista, basta che uno la usi sapendo quello che fa. Purtroppo invece a volte non è chiaro agli studenti delle scuole secondarie (ma anche a studenti universitari di matematica). Magari qualcuno pensa che si tratti di due radici "distinte ma infinitamente vicine"

[@melia]

... Purtroppo invece a volte non è chiaro agli studenti delle scuole secondarie (ma anche a studenti universitari di matematica). Magari qualcuno pensa che si tratti di due radici "distinte ma infinitamente vicine"