Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda Settevoltesette » 15/04/2018, 22:21

Un insieme con un operazione intera associativa, può avere unita' dx ma non sx, oppure unità dx e sx distinte?

Un insieme con un operazione interna associativa, può avere un elemento con inverso dx ma non sx, oppure inverso dx e sx distinti?
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda luca69 » 16/04/2018, 08:19

Se esistono unità e inversi destri (risp. sinistri), allora esistono unità e inversi sinistri (risp. destri) uguali ai destri (risp. sinistri), ossia l'insieme è un gruppo. Diversamente, se esistono unità sinistra (risp. destra) e inversi destri (risp. sinistri), la conclusione precedente è falsa.
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda Settevoltesette » 16/04/2018, 17:38

Non ho capito.

Io ho dimostrato che se un operazione interna é associativa allora unita' destra implica unità sinistra e coincidono.
Con le stesse premesse la stessa cosa per l'inverso di un elemento, però non sono sicuro del risultato.

Ho fatto così per l'unità \(\displaystyle a^2 = a*(a*1) = (a*1)*a = a*(1*a) = a^2 \)

Poi però mi son detto, che per la proprietà associativa l'ordine delle operazioni non cambia il risultato, ma magari non mi dice cosa succede ai risultati intermedi.

Allora ho pensato che poteva essere \(\displaystyle a = a*1 \neq 1*a = b \) ma allo stesso tempo \(\displaystyle a*a = a*b \) e allora la mia dimostrazione non era più valida.
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda luca69 » 16/04/2018, 21:06

Se:

i) $\EE e$ tale che $AAx$ risulta $ex=x$ (unità sinistra)
ii) $AAx, EEy$ tale che $yx=e$ (inversi sinistri)

allora:

$xy=$ [uso i)] $x(ey)=$ [associatività] $xey=$ [uso ii)] $x(yx)y=$ [associatività] $(xy)(xy)$; sia $z$ tale che $z(xy)=e$ [un tale $z$ esiste perché $xy$ sta nell'insieme (chiusura) e per ii)]; allora, moltiplicando a sinistra per $z$ e usando ancora l'associatitivà, $z(xy)=(z(xy))(xy)$, ovvero $e=e(xy)=$ [uso ancora i)] $e=xy$, per cui $y$ è anche inverso destro. Con ciò, inoltre (evito di scrivere le motivazioni tra [.]), $xe=x(yx)=(xy)x=ex=x$, per cui $e$ è anche unità destra.
E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda Settevoltesette » 16/04/2018, 22:07

luca69 ha scritto:E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...



capito, però mi chiedevo se basta una proprietà associativa interna perché unita dx sia anche sx e ogni inversa dx sia anche sx.

nella mia dimostrazione credo che funzioni se è vero che per ogni operazione binaria \(\displaystyle * \) non si può avere \(\displaystyle a \neq b \) e \(\displaystyle a*a = a*b \), a me sembra vero però non so come dimostrare o una smentire questa cosa.
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda luca69 » 17/04/2018, 09:59

Credo di avere intuito la tua idea, però dobbiamo essere conseguenti fino in fondo. Mi spiego: ammettiamo, oltre alla chiusura e all'associatività, l'esistenza di un'unità destra; allora,

$aa=(a1)(a1)=a(1a)1=(a(1a))1=a(1a)$

A questo punto, per ricavare qualche informazione sull'oggetto "$1a$" a secondo membro, dobbiamo ammettere l'esistenza di un inverso sinistro, per ogni $a$, in modo tale che moltiplicando a sinistra per esso si ottiene:

$1a=1(1a)=(11)a=1a$

Questa, però, non ci dice nulla circa i (supposti) rapporti tra "$1a$" e "$a1$".
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda Settevoltesette » 17/04/2018, 10:47

Intanto ti ringrazio per l'aiuto.

Credo di aver trovato un esempio di una relazione binaria che è interna, associativa, ha unità destra ma non sinistra.

Considero l'insieme R e la relazione che alla coppia a*b associa a, é interna, é associativa infatti c*(a*b)) = ((c*a)*b) ha elemento neutro a destra, ma non a sinistra.

Quindi in generale la mia dimostrazione precedente è falsa, come mi hai fatto notare, anche se aa = (a1)a = a(1a) non posso dire che 1a = a.
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Re: Inversa dx, sx unità dx, sx

Messaggioda luca69 » 19/04/2018, 08:47

Mi sembra che, oltre a quella riportata nel post sotto, si possa individuare un'ulteriore condizione affinché l'insieme (in cui è definita una legge di composizione associativa) sia un gruppo.

luca69 ha scritto:Se:

i) $ \EE e $ tale che $ AAx $ risulta $ ex=x $ (unità sinistra)
ii) $ AAx, EEy $ tale che $ yx=e $ (inversi sinistri)

allora:

$ xy= $ [uso i)] $ x(ey)= $ [associatività] $ xey= $ [uso ii)] $ x(yx)y= $ [associatività] $ (xy)(xy) $; sia $ z $ tale che $ z(xy)=e $ [un tale $ z $ esiste perché $ xy $ sta nell'insieme (chiusura) e per ii)]; allora, moltiplicando a sinistra per $ z $ e usando ancora l'associatitivà, $ z(xy)=(z(xy))(xy) $, ovvero $ e=e(xy)= $ [uso ancora i)] $ e=xy $, per cui $ y $ è anche inverso destro. Con ciò, inoltre (evito di scrivere le motivazioni tra [.]), $ xe=x(yx)=(xy)x=ex=x $, per cui $ e $ è anche unità destra.
E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...


Se esiste unità sinistra, allora $AAx,y$ si ha che $yx=y(ex)=(ye)x$. Pertanto, se vale anche la legge di cancellazione a destra, $e$ è anche unità destra. Se si ipotizza inoltre l'esistenza di inversi destri, per il quote (versione "destra" al posto di "sinistra") si conclude che l'insieme è un gruppo.

[ Equivalentemente: supponiamo che esistano elementi dell'insieme che non ammettono inversi sinistri: $EEx$ tale che $yx \ne e, AAy$; se vale la legge di cancellazione a destra, la precedente implica che $EEx$ tale che $yxy \ne ey=$(per ipotesi esiste unità sinistra)$=y$, $AAy$; se vale inoltre l'esistenza di inversi destri, allora la mappa $y mapsto yx$ è suriettiva, e quindi la precedente diventa $wy \ne y, AAw,y$: nessun elemento dell'insieme avrebbe unità sinistra, contraddizione. Pertanto esistono anche inversi sinistri, e per il quote si conclude. ]

Si può riassumere il tutto dicendo che, un insieme in cui è definita una legge di composizione associativa è un gruppo se vale almeno una delle due seguenti condizioni (e analoghe con le sostituzioni "sx"$leftrightarrow$"dx"):

1) unità sx $wedge$ inversi sx
2) unità sx $wedge$ inversi dx $wedge$ cancellazione a dx

E' noto invece che non sono sufficienti le condizioni:

a) unità sx $wedge$ inversi dx (v. Herstein, Topics in Algebra, Es. 13 a pag. 36)
b) cancellazione a sx $wedge$ cancellazione a dx (se non per insiemi finiti; v. Herstein, Abstract Algebra, Es. 29 e 30 a pag. 48, e qui https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=184750&start=10 per un tentativo di soluzione del primo)
luca69
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