info su Punti critici funzione in 2 variabili

[Matteo2598]

Salve ragazzi.
Riscontro dei problemi quando ad annullare i punti del mio gradiente sono delle curve, faccio subito un piccolo esempio: $ f(x,y)=x/y+y/x $
devo individuarne i punti critici tenendo conto che per dominio x ed y devono essere diversi da 0:
$ (partial f)/(partial x) =1/y-y/x^2 $
$ (partial f)/(partial y) =1/x-x/y^2 $
Noto che le derivate parziali si annullano per le rette: $ y=x $ ed $ y=-x $ escluso il punto (0,0).
$ partial_(x,x)=2y/x^3 $
$ partial_(y,y)=2x/y^3 $
$ partial_(x,y)=partial_(y,x)=-1/y^2-1/x^2 $
Calcolando il determinante della matrice hessiana :
$ |( 2y/x^3 , -1/y^2 -1/x^2),( -1/y^2 -1/x^2 , 2x/y^3) | =(-(x^2-y^2)^2)/(x^4y^4)<0 $ sempre. (in particolare nel mio caso sembrerebbe sempre uguale a 0 essendo i punti critici solo sulle rette)
In generale supponiamo comunque che il determinante non fosse uguale a 0, quindi tutti i punti delle rette sono di flesso/max/min? Non capisco questo concetto.

[dissonance]

Non capisco cosa ti sorprenda. Hai due rette di punti critici, e su queste due rette la matrice Hessiana è singolare, come deve essere. (Se la matrice Hessiana non è singolare in un punto critico, tale punto critico deve necessariamente essere isolato, ma questo è un teorema un pochino più avanzato che di solito non si studia in analisi).

[Matteo2598]

Quindi non è strano trovare una retta piena di massimi?

[dissonance]

No. Ma chi ti ha detto che quelli sono massimi? Devi studiare quei punti critici.

[Matteo2598]

No non mi rifacevo a quell'esercizio, dicevo in generale. Grazie mille comunque!

[dissonance]

Per avere una idea di una retta di massimi disegna il grafico di $f(x, y) = 1-x^2$.