Salve ragazzi.
Riscontro dei problemi quando ad annullare i punti del mio gradiente sono delle curve, faccio subito un piccolo esempio: $ f(x,y)=x/y+y/x $
devo individuarne i punti critici tenendo conto che per dominio x ed y devono essere diversi da 0:
$ (partial f)/(partial x) =1/y-y/x^2 $
$ (partial f)/(partial y) =1/x-x/y^2 $
Noto che le derivate parziali si annullano per le rette: $ y=x $ ed $ y=-x $ escluso il punto (0,0).
$ partial_(x,x)=2y/x^3 $
$ partial_(y,y)=2x/y^3 $
$ partial_(x,y)=partial_(y,x)=-1/y^2-1/x^2 $
Calcolando il determinante della matrice hessiana :
$ |( 2y/x^3 , -1/y^2 -1/x^2),( -1/y^2 -1/x^2 , 2x/y^3) | =(-(x^2-y^2)^2)/(x^4y^4)<0 $ sempre. (in particolare nel mio caso sembrerebbe sempre uguale a 0 essendo i punti critici solo sulle rette)
In generale supponiamo comunque che il determinante non fosse uguale a 0, quindi tutti i punti delle rette sono di flesso/max/min? Non capisco questo concetto.