funzioni continue e compatti.

Messaggioda anto_zoolander » 16/04/2018, 17:20

Ciao!

siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, siano $KsubseteqX$ compatto e $f:K->Y$ funzione

$f$ continua $=>$ $f(K)$ compatto.


lo so, magari è anche facile, ma studio solo ed ho bisogno di conferme

sia ${a_n}_(n inNN)subseteqf(K)$ una successione
allora $foralln inNN,a_n inf(K) => existsx_n inK:f(x_n)=a_n$

- dunque si ottiene una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK:f(x_n)=a_n,foralln inNN$

- $K$ è compatto dunque esiste una sottossuccessione di $(x_(n_j))_(j inNN)$ convergente ad un certo $x_0 inK$

- $f$ è continua in $K$ quindi $d_X(x_(n_j),x_0)->0 => d_Y(f(x_(n_j)),f(x_0))->0$

- essendo $f(x_(n_j))=a_(n_j)$ si ottiene che $d_Y(a_(n_j),f(x_0))->0$

quindi ${a_(n_j)}_(j in NN)$ è una sottosuccessione di ${a_n}_(n inNN)$ convergente ad $f(x_0) inf(K)$ pertanto è compatto.
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda dissonance » 16/04/2018, 17:33

Esattamente.
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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda dissonance » 16/04/2018, 17:58

Ma cos'è questa storia che "studi solo"? Non sei iscritto all'università?
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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda anto_zoolander » 16/04/2018, 18:19

Si, sono iscritto.

Le lezioni le seguo poco, solo quelle con i professori con i quali mi trovo bene.
Non so se per me o per i professori, ma alcune lezioni mi lasciano più domande che risposte... quindi diciamo che la maggior parte delle cose che so l’ho appresa da solo.

Anche i libri li uso sporadicamente se non per lettura ‘senza impegno’.
Le dimostrazioni le leggo poco, mi piace farle da me nella maggior parte dei casi, tipo questa
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda dissonance » 16/04/2018, 18:41

:smt012
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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda anto_zoolander » 16/04/2018, 18:47

Cosa? :(
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda otta96 » 16/04/2018, 19:16

Comunque ti faccio notare che la stessa dimostrazione funziona praticamente uguale se al posto di spazi metrici lavori in spazi topologici.
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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda anto_zoolander » 16/04/2018, 19:27

Devo dare una lettura alla compattezza con i ricoprimenti #-o
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda otta96 » 16/04/2018, 19:30

Non necessariamente.
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Re: funzioni continue e compatti.

Messaggioda anto_zoolander » 16/04/2018, 19:46

Dici usare la stessa definizione di compattezza sugli spazi topologici?
Se mi dai gli ingredienti ci penso :-D
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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