Forma canonica di una forma quadratica

Messaggioda Silence » 16/04/2018, 18:28

Buondì, avrei un dubbio su uno specifico passaggio di un esercizio:

data $q(x,y)=9x^2+4xy+6y^2=10$ , devo ridurla in forma canonica. Dunque, la prima parte mi è chiara, ho trovato la matrice associata $ ( ( 9 , 2 ),( 2 , 6 ) )$, i cui autovalori sono $lambda_1=10, lambda_2=5$

Mi calcolo i corrispondenti autospazi, ne prendo due autovettori e li normalizzo: $vec(v_1)=1/sqrt5(2,1), vec(v_2)=1/sqrt5(-1,2)$

da cui la matrice del cambiamento di base $P=1/sqrt5( ( 2 , 1 ),( -1 , 2 ) )$

Poi considero $alpha,beta$ coordinate di $(x,y)$, e siccome $P$ è ortogonale $P^T=P^-1$, quindi

$ ( ( alpha ),(beta) ) = P( (x),(y) ) = 1/sqrt5( (2x+y),(-x+2y) ) $

Qui nasce il mio dubbio. L'esercizio conclude semplicemente che la forma quadratica canonica è quindi:

$q(alpha,beta)=10alpha^2+5beta^2$ , ma qual è il passaggio che porta qui? I coefficienti sono gli autovalori, alfa e beta sono rispettivamente $(2x+y)/sqrt5$ e $(-x+2y)/sqrt5$ , ma come arrivo a concludere che la forma canonica è $q(alpha,beta)=10alpha^2+5beta^2$?

Grazie
Silence
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Re: Forma canonica di una forma quadratica

Messaggioda Silence » 16/04/2018, 19:23

Niente, sono scemo, risolto. Grazie! :-D
Silence
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