Un insieme con un operazione intera associativa, può avere unita' dx ma non sx, oppure unità dx e sx distinte?
Un insieme con un operazione interna associativa, può avere un elemento con inverso dx ma non sx, oppure inverso dx e sx distinti?
luca69 ha scritto:E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...
luca69 ha scritto:Se:
i) $ \EE e $ tale che $ AAx $ risulta $ ex=x $ (unità sinistra)
ii) $ AAx, EEy $ tale che $ yx=e $ (inversi sinistri)
allora:
$ xy= $ [uso i)] $ x(ey)= $ [associatività] $ xey= $ [uso ii)] $ x(yx)y= $ [associatività] $ (xy)(xy) $; sia $ z $ tale che $ z(xy)=e $ [un tale $ z $ esiste perché $ xy $ sta nell'insieme (chiusura) e per ii)]; allora, moltiplicando a sinistra per $ z $ e usando ancora l'associatitivà, $ z(xy)=(z(xy))(xy) $, ovvero $ e=e(xy)= $ [uso ancora i)] $ e=xy $, per cui $ y $ è anche inverso destro. Con ciò, inoltre (evito di scrivere le motivazioni tra [.]), $ xe=x(yx)=(xy)x=ex=x $, per cui $ e $ è anche unità destra.
E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...
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