Piccolissimo dubbio su una notazione

Messaggioda Ernesto01 » 16/04/2018, 00:24

Salve a tutti!
Leggendo un libro viene spesso utilizzata questa notazione. Faccio un esempio tratto da una parte di un teorema (di Morrey):
"Sia $p>N$, per ogni $u in W^{1,p}(RR^n)$, abbiamo $|u(x)-u(y)|<=C|x-y|^alpha ||nablau||_p$ per q.o. $x,y in RR^n$".
Il fatto è che l'insieme dei punti $(x,y)$ sta in $RR^(2n)$ e quindi mi sembra un po' strana come notazione, o per lo meno a me sembra controintuitiva. All'inizio ho pensato che fissando $x$, quella disuguaglianza valesse per q.o $y in R^n$ ma questo mi sembra falso in generale.
Forse quello che dice l'autore è equivalente a dire che la disugualianza vale per q.o. $(x,y) in RR^(2n)$?
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Re: Piccolissimo dubbio su una notazione

Messaggioda dissonance » 16/04/2018, 13:32

Sicuramente vuole dire "per quasi ogni \(x\in\mathbb R^n\) e per quasi ogni \(y\in \mathbb R^n\)", abbreviato in "per quasi ogni \(x, y\in \mathbb R^n\)".
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Re: Piccolissimo dubbio su una notazione

Messaggioda Ernesto01 » 16/04/2018, 21:29

Neanche questa notazione mi è troppo chiara, più che altro non saprei esprimerla matematicamente .
Per esempio, consideriamo una proprietà $P(x)$ su $RR^n$ che può essere vera o falsa.
Allora per definizione $P(x)$ è vera per q.o $x$ se l'insieme $N \subset RR^n$ in cui la proprietà è falsa ha misura nulla.
Invece in questo caso non riesco. Cioè se abbiamo $P(x,y)$ vera per q.o. $x in RR^n$ e q.o $y in RR^n$, come posso esprimere questa cosa in termini di insiemi e misure?
Forse vuol dire che $C_x:={x in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $y}$, $C_y:={y in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $x}$ hanno entrambi complementare di misura nulla?
Io avevo pensato a $C:={(x,y) \in RR^(2n) | P(x,y)}$ ha complementare di misura nulla in $RR^(2n)$, mi sembrava la cosa più logica.
Ultima modifica di Ernesto01 il 16/04/2018, 23:27, modificato 1 volta in totale.
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Re: Piccolissimo dubbio su una notazione

Messaggioda dissonance » 16/04/2018, 23:08

Non mi ci scervellerei troppo, sicuramente chi ha scritto il testo non ci ha pensato più di tanto. In ogni caso la tua ultima interpretazione, quella con $\mathbb R^{2n} $, è sicuramente corretta.
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Re: Piccolissimo dubbio su una notazione

Messaggioda Ernesto01 » 16/04/2018, 23:30

Sicuramente, solo che non capire l`enunciato di un teorema è fastidioso: non sai cosa stai cercando di dimostrare. Ti ringrazio per la conferma comunque!
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