UN PAIO DI problemi

Messaggioda SalvatCpo » 16/04/2018, 23:40

1) In un mazzo di 30 carte ce ne sono esattamente 6 verdi. Calcola la probabilità che, dopo averne pescata una, pescandone altre due esse siano entrambe verdi.

MI MANDA IN TILT il fatto che non so se la carta pescata all'inizio è verde oppure no.


2) In un mazzo di 30 carte ce ne sono esattamente 6 verdi. Se, pescandone 5, una sola è verde, qual è la probabilità che ad essere verde sia l'ultima fra quelle pescate?
QUI propongo un ragionamento scorretto (perché le quattro frazioni non tengono conto del fatto che una ed una sola carta pescata è verde), che spero possa deviare sulla retta via.
$ P = 24/30 *23/29*22/28*21/27 = 39% $
Ciò di cui sono certo è che il risultato è >20% perchè delle 5 pescate l'ultima viene presa quando il mazzo è più piccolo, quindi in quel momento la carta verde ha maggiori probabilità di venire fuori rispetto alle precedenti pescate.

GRAZIE IN ANTICIPO
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda axpgn » 16/04/2018, 23:58

Premesso che quando si parla di probabilità non ho certezze (e mi sembra pure ovvio ... :-D ), io direi che se hai estratto $5$ carte dal mazzo di trenta ed una sola di esse è verde, te ne rimangono sicuramente $25$ di cui, altrettanto sicuramente, $5$ sono verdi; perciò la probabilità che la prossima sia verde sarà del $20%$ ... IMHO.

Nel primo caso, se il tuo dubbio è quello, basta che fai le due ipotesi: prima carta verde oppure no ... sempre IMHO

Cordialmente, Alex
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda SalvatCpo » 17/04/2018, 07:59

Riguardo il primo esercizio, non so come sposare fra loro le ipotesi e ottenere un unico risultato.

Riguardo il secondo, non interessa la pescata successiva; è richiesta la probabilità che fra le 5 pescate, ad essere verde è la quinta.
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda tommik » 17/04/2018, 08:46

1) Esattamente come ti ha spiegato @axpgn, se non sai il colore della prima pescata basta che fai entrambe le ipotesi, ognuna valutata con la sua probabilità (si chiama teorema delle probabilità totali, e si trova su tutti i testi alle prime pagine sul calcolo elementare di probabilità)

$6/30*5/29*4/28+24/30*6/29*5/28$



2)

SalvatCpo ha scritto:
Ciò di cui sono certo è che il risultato è >20%


Se fossi in te rivedrei queste certezze….




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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda superpippone » 17/04/2018, 09:09

Forse sono io che non ho capito.....

Ma la faccenda è assai semplice.
Se pesco 5 palline, e di esse una sola è verde, la probabilità che ad essere verde sia proprio la quinta, è di $1/5$.
Anzi , e mi pare ovvio, che la probabilità ad essere verde sia la prima, la seconda, la terza, la quarta, la quinta è sempre $1/5$.
E non mi interessa neanche sapere qual è la composizione dell'urna....
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda tommik » 17/04/2018, 09:20

@superpippone: hai capito benissimo! esattamente come ha capito bene Alex.
Non avevo ancora finito di formulare la soluzione ma mi hai preceduto (purtoppo in questo periodo ho una connessione che va e viene e sono costretto a postare parte del messaggio altrimenti perdo ciò che sto scrivendo)....

Dato che il problema si presenta spesso, benché banale, vorrei spiegarlo una volta per tutte in termini più formali, utilizzando il concetto di probabilità condizionata

Il problema che l'utente ha postato è il seguente:

Da un'urna con 30 palline di cui 6 verdi ne estraiamo 5 senza reimmissione; sapendo che è uscita una sola verde, calcolare la probabilità che essa sia la quinta


(o la i-esima, non cambia nulla) possiamo usare la formula della probabilità condizionata, ottenendo

$(24/30*23/29*22/28*21/27*6/26)/(6/30*24/29*23/28*22/27*21/26+24/30*6/29*23/28*22/27*21/26+24/30*23/29*6/28*22/27*21/26+24/30*23/29*22/28*6/27*21/26+24/30*23/29*22/28*21/27*6/26)=$

$=(24/30*23/29*22/28*21/27*6/26)/(24/30*23/29*22/28*21/27*6/26)1/(1+1+1+1+1)=1/5$

per verificare ciò che dovrebbe essere evidente anche senza tutta questa pletora di conti. Al numeratore c'è la probabilità congiunta, ovvero quella di estrarre 5 palline nel seguente modo ${bar(V)bar(V)bar(V)bar(V)V}$ mentre al denominatore la probabilità che subordina, ovvero quella di avere esattamente una verde su 5 estratte (la prima, oppure la seconda, oppure la terza ecc ecc)

Diverso, invece, sarebbe il seguente quesito

Data un'urna con 30 palline di cui 6 verdi, estraendone 5 senza reimmissione, calcolare la probabilità di estrarre la verde solo all'ultima estrazione.
.

Qui avresti fatto [quasi] bene ottenendo

$24/30*23/29*22/28*21/27*6/26~~ 8.95%$

che è il numeratore della probabilità condizionata precedente.

Soluzione prolissa, lo so, ma spero che abbia chiarito i dubbi dell'OP. I quesiti sono molto diversi fra loro, occorre prestare una certa attenzione a come sono scritti, ed è per questo che si chiede sempre di scrivere il testo del problema in modo completo.
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda axpgn » 17/04/2018, 11:34

@tommik
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Ma quanto c'hai messo a scrivere quella frazione? :-D
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda tommik » 17/04/2018, 11:41

@axpgn
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
nel frattempo superpippone ha fatto in tempo a rispondere al messaggio e fare qualche 770....speriamo almeno che serva....


La cosa interessante che si vede dall'utilizzo della probabilità condizioniata (e che superpippone aveva evidenziato subito) è come la probabilità richiesta sia indipendente dalla composizione dell'urna (infatti la composizione dell'urna si semplifica)

;)
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda superpippone » 17/04/2018, 11:49

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Per i 770 non è ancora stagione....
Ultima modifica di superpippone il 18/04/2018, 08:15, modificato 2 volte in totale.
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Re: UN PAIO DI problemi

Messaggioda SalvatCpo » 17/04/2018, 11:57

Ok, grazie. Mi sono impippato in esercizi piuttosto semplici, perché ne avevo fatto un interpretazione complicata.
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